Sur un problème de L. Carlitz

Saïd El Baghdadi

Acta Arithmetica, Tome 69 (1995), p. 39-50 / Harvested from The Polish Digital Mathematics Library

Résumé

1. Introduction. Dickson a conjecturé en 1909 dans [4] que toute forme binaire Q(X,Y) de degré pair 2r, r>1, à coefficients dans un corps fini $_{q}$ de caractéristique différente de 2 telle que, pour tout (a,b) de $_{q} \times_{q}$ distinct de (0,0), Q(a,b) soit un carré non nul de $_{q}$ est un carré dès que q dépasse une certaine borne $N_{r}$ qui ne dépend que de r. Cette conjecture a été démontrée en 1947 par Carlitz dans [1] où il a montré que, si d est un entier ≥2, q une puissance d’un nombre premier impair telle que q>(d-1)² et f un élément de $_{q} [X]$ de degré d tel que, pour tout x de $_{q}$ , f(x) soit un carré non nul de $_{q}$ , f est un carré de $_{q} [X]$ . Carlitz est revenu sur cette question dans deux autres articles [2] et [3] démontrant notamment dans [2] que, pour tout entier d≥2, il existe un entier N(d) tel que, si q≥3 est une puissance d’un nombre premier impair telle que q>N(d) et si f est un élément de degré d de $_{q} [X]$ tel que, pour tout x de $_{q}$ , f(x) soit un carré de $_{q}$ , f est un carré de $_{q} [X]$ . Nous reprenons ici ce problème de Carlitz en montrant que, pour d impair, on peut prendre N(d)=d², que pour d pair ≥4, on peut prendre N(d)=(d-1)² et que ces valeurs de N(d) ne peuvent en général être améliorées; nous montrons aussi, en adaptant une méthode introduite par Stark [9], que lorsqu’on se restreint aux corps finis premiers, on peut prendre N(d)=(d²+2d-1)/2 pour d impair et (d²+d-4)/2 pour d pair et ≥4. Nous avons étudié ce problème dans un cadre un peu plus général en définissant des fonctions généralisant la borne N(d) de Carlitz et c’est l’étude de ces dernières qui est à la base de nos résultats. Je remercie G. Terjanian qui m’a aidé dans ce travail et le rapporteur pour ses remarques qui m’ont permis d’améliorer la rédaction de cet article.

Publié le : 1995-01-01
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Saïd El Baghdadi. Sur un problème de L. Carlitz. Acta Arithmetica, Tome 69 (1995) pp. 39-50. http://gdmltest.u-ga.fr/item/bwmeta1.element.bwnjournal-article-aav69i1p39bwm/

Bibliographie

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[001] [2] L. Carlitz, A problem of Dickson, Duke Math. J. 19 (1952), 471-474.

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