On the space of real algebraic morphisms

Ghiloni, Riccardo

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 14 (2003), p. 307-317 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Abstract

In this Note, we announce several results concerning basic properties of the spaces of morphisms between real algebraic varieties. Our results show a surprising intrinsic rigidity of Real Algebraic Geometry and illustrate the great distance which, in some sense, exists between this geometry and Real Nash one. Let us give an example of this rigidity. An affine real algebraic variety $X$ is rigid if, for each affine irreducible real algebraic variety $Z$, the set of all nonconstant regular morphisms from $Z$ to $X$ is finite. We are able to prove that, given a compact smooth manifold $M$ of positive dimension, there exists an uncountable family $\{ M_{i}\}_{i \in I}$ of rigid affine nonsingular real algebraic varieties diffeomorphic to $M$ such that, for each $i \neq j$ in $I$, $M_{i}$ is not biregularly isomorphic to $M_{j}$.

Résumé

In questa Nota, annunciamo alcuni risultati ri- guardanti proprietà basilari degli spazi di morfismi tra varietà algebriche reali. I nostri risultati mostrano una sorprendente rigidità intrinseca della Geometria Algebrica Reale ed illustrano la grande distanza che, in un certo senso, esiste tra questa geometria e quella Nash reale. Diamo un esempio di questa rigi- dità. Una varietà algebrica reale affine $X$ è rigida se, per ogni varietà algebrica reale affine irriducibile $Z$, l’insieme dei morfismi regolari noncostanti da $Z$ in $X$ è finito. Siamo in grado di dimostrare che, data una varietà differenziabile compatta $M$ di dimensione positiva, esiste una famiglia non-numerabile $\{ M_{i}\}_{i \in I}$ di varietà algebriche reali affini nonsingolari rigide diffeomorfe a $M$ tali che, per ogni $i \neq j$ in $I$, $M_{i}$ non è biregolarmente isomorfa a $M_{j}$.

Détail

Publié le : 2003-12-01

MR 2104218 | Zbl 1172.14341

Bibliographie

[1] Akbulut, S. - King, H.C., The topology of real algebraic sets with isolated singularities. Ann. of Math., 113, n. 3, 1981, 425-446. | MR 621011 | Zbl 0494.57004

[2] Ballico, E., An addendum on: "Algebraic models of smooth manifolds" [Invent. Math. 97 (1989), no. 3, 585-611; MR 91b : 14076] by J. Bochnak and W. Kucharz. Geom. Dedicata, 38, n. 3, 1991, 343-346. | MR 1112671 | Zbl 0726.58006

[3] Bochnak, J. - Kucharz, W., Nonisomorphic algebraic models of a smooth manifold. Math. Ann., 290, n. 1, 1991, 1-2. | MR 1107659 | Zbl 0714.14012

[4] De Franchis, M., Un teorema sulle involuzioni irrazionali. Rend. Circ. Mat. Palermo, 36, 1936, 368. | JFM 44.0657.02

[5] Golubitsky, M. - Guillemin, V., Stable mappings and their singularities. Graduate Text in Mathematics, vol. 14, Springer-Verlag, New York - Heidelberg 1973. | MR 341518 | Zbl 0294.58004

[6] Lluis, E., Sur l’immersion des variétés algébriques. (French) Ann. of Math., 62 (2), 1955, 120-127. | MR 71112 | Zbl 0066.14702

[7] Mumford, D., Algebraic Geometry I. Complex Projective Varieties. Springer-Verlag, Berlin1976. | MR 453732 | Zbl 0821.14001

[8] Swan, R., A cancellation theorem for projective modules in the metastable range. Invent. Math., 27, 1974, 23-43. | MR 376681 | Zbl 0297.14003

[9] Tanabe, M., A bound for the theorem of de Franchis. Pro. Amer. Math. Soc., 127, n. 8, 1999, 2289-2295. | MR 1600153 | Zbl 0919.30035

[10] Tognoli, A., Su una congettura di Nash. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 27 (3), 1973, 167-185. | MR 396571 | Zbl 0263.57011

[11] Whitney, H., Complex Analytic Varieties. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.1972. | MR 387634 | Zbl 0265.32008