On the unique extension problem for functionals of the calculus of variations

Carbone, Luciano ; De Arcangelis, Riccardo

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 12 (2001), p. 85-106 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Abstract

By drawing inspiration from the treatment of the non parametric area problem, an abstract functional is considered, defined for every open set in a given class of open subsets of $\mathbb{R}^{n}$ and every function in $C^{\infty} (\mathbb{R}^{n})$, and verifying suitable assumptions of measure theoretic type, of invariance, convexity, and lower semicontinuity. The problem is discussed of the possibility of extending it, and of the uniqueness of such extension, to a functional verifying analogous properties, but defined in wider families of open sets and less smooth functions. A suitable extension is constructed, and minimal sufficient conditions for its uniqueness are proposed. The results are applied to some examples in Calculus of Variations.

Résumé

Traendo ispirazione dalla trattazione del problema dell’area non parametrica, si considera un funzionale astratto, definito per ogni aperto in un assegnato insieme di sottoinsiemi aperti di $\mathbb{R}^{n}$ ed ogni funzione in $C^{\infty} (\mathbb{R}^{n})$, verificante opportune ipotesi di tipo mensurale, di invarianza, convessità e semicontinuità inferiore, e si discute il problema della sua estendibilità, e dell’unicità di tale estensione, ad un funzionale verificante proprietà analoghe, ma definito su famiglie più ampie di aperti e di funzioni meno regolari. Si costruisce un’opportuna estensione e si forniscono condizioni sufficienti minimali per la sua unicità. I risultati sono applicati a diversi esempi in Calcolo delle variazioni.

Détail

Publié le : 2001-06-01

MR 1898452 | Zbl 1170.49303

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