We characterize the general solutions to certain symmetric systems of linear partial differential equations with tensor functionals as unknowns. Then we determine the solutions that are physically meaningful in suitable senses related with the constitutive functionals of two simple thermodynamic bodies with fading memory that are globally equivalent, i.e. roughly speaking that behave in the same way along processes not involving cuts. The domains of the constitutive functionals are nowhere dense subsets of a suitable infinite-dimensional Hilbert space. By using the condition of material frame-indifference on the constitutive functionals and the theory [1] of differential calculus on convex sets (that may be nowhere dense), we give a rigorous meaning from a general point of view to the derivatives of these functionals, without assuming the possibility of extending them to an open set. Such results appear necessary for characterizing the couples of thermodynamic bodies with memory that are globally equivalent but are physically different; and such bodies exist.
Si caratterizza la soluzione generale di certi sistemi simmetrici di equazioni lineari alle derivate parziali aventi funzionali tensoriali come incognite. Quindi si determinano le soluzioni fisicamente significative in certi sensi collegati con i funzionali costitutivi di due corpi termodinamici con memoria evanescente che sono globalmente equivalenti, ossia che si comportano allo stesso modo nei processi non involgenti tagli. I domini dei funzionali costitutivi sono sottoinsiemi ovunque non densi di un opportuno spazio di Hilbert a infinite dimensioni. Usando la condizione di indifferenza materiale per i funzionali costitutivi e la teoria [1] di calcolo differenziale su un insieme convesso (che pu` o essere ovunque non denso), viene dato un significato rigoroso, da un punto di vista generale, alle derivate di questi funzionali, senza assumere la possibilità di estenderli a qualche insieme aperto. Tali risultati sembrano necessari per caratterizzare le coppie di corpi termodinamici con memoria che sono globalmente equivalenti ma fisicamente diversi; e tali corpi esistono.
@article{RLIN_2000_9_11_4_245_0,
author = {Adriano Montanaro and Diego Pigozzi},
title = {General and physically privileged solutions to certain symmetric systems of linear P.D.E.s with tensor functionals as unknowns},
journal = {Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni},
volume = {11},
year = {2000},
pages = {245-276},
zbl = {1020.74003},
mrnumber = {1837582},
language = {en},
url = {http://dml.mathdoc.fr/item/RLIN_2000_9_11_4_245_0}
}
Montanaro, Adriano; Pigozzi, Diego. General and physically privileged solutions to certain symmetric systems of linear P.D.E.s with tensor functionals as unknowns. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 11 (2000) pp. 245-276. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_2000_9_11_4_245_0/
[1] - , A note about differentiability of maps defined on convex subsets of Banach spaces that may be nowhere dense. J. Math. Anal. Appl., 213, 1997, 370-386. | MR 1469382 | Zbl 0904.46031
[2] , Thermodynamics of Materials with Memory. Arch. Rational Mech. Anal., 17, 1964, 1-46. | MR 171419 | Zbl 0286.73006
[3] , Global equivalence for deformable thermoelastic bodies. Arch. Rational Mech. Anal., 143, 1998, 375-400. | MR 1657111 | Zbl 0916.73008
[4] - , On a large class of symmetric systems of linear PDEs for tensor functions useful in mathematical physics. Annali Mat. Pura Appl., CLXIV, 1993, 259-273. | MR 1243957 | Zbl 0796.35020
[5] - , A fading memory hypothesis which suffices for chain rules. Arch. Rational Mech. Anal., 23, 1966, 124-134. | MR 210344 | Zbl 0171.47201
[6] , A First Course in Rational Continuum Mechanics. Academic Press, New York-San Francisco-London1977. | MR 559731 | Zbl 0866.73001
[7] , Osservazione sui tensori quintupli emisotropi. Rend. Fis. Acc. Lincei, s. 6, vol. 15, 1932, 840-843. | JFM 58.0808.04 | Zbl 0005.18102