Remarks on Weil’s quadratic functional in the theory of prime numbers, I

Bombieri, Enrico

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 11 (2000), p. 183-233 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Abstract

This Memoir studies Weil’s well-known Explicit Formula in the theory of prime numbers and its associated quadratic functional, which is positive semidefinite if and only if the Riemann Hypothesis is true. We prove that this quadratic functional attains its minimum in the unit ball of the $L^{2}$-space of functions with support in a given interval $\left[ -t,t \right]$, and prove again Yoshida’s theorem that it is positive definite if $t$ is sufficiently small. The Fourier transform of the functional gives rise to a quadratic form in infinitely many variables and we then study its finite truncations and corresponding eigenvalues. In particular, if the Riemann Hypothesis is false but only with finitely many non-trivial zeros off the critical line we show that the number of negative eigenvalues is precisely one-half of the number of zeros failing to satisfy the Riemann Hypothesis, provided the truncation is big enough.

Résumé

Questa Memoria studia la nota Formula Esplicita di Weil nella teoria dei numeri primi e il funzionale quadratico associato ad essa. Questo funzionale è positivo semidefinito se e solo se l’Ipotesi di Riemann è valida. Dimostriamo qui che il minimo di questo funzionale nello spazio delle funzioni $L^{2}$ con supporto compatto nell’intervallo $\left[ -t,t \right]$ è raggiunto, e dimostriamo nuovamente il risultato di Yoshida che dà la positività per $t$ sufficientemente piccolo. La trasformata di Fourier del funzionale dà luogo ad una forma quadratica in un numero infinito di variabili, e ne studiamo i suoi troncamenti finiti e gli autovalori corrispondenti. In particolare, se l’Ipotesi di Riemann è falsa ma solamente con un numero finito di eccezioni, si dimostra che il numero di autovalori negativi è la metà del numero di eccezioni all’Ipotesi di Riemann, purché il troncamento sia abbastanza grande.

Détail

Publié le : 2000-09-01

MR 1841692 | Zbl 1008.11034

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