Functionals with $p(x)$ growth and regularity

Acerbi, Emilio; Mingione, Giuseppe

Functionals with

p (x)

growth and regularity

Acerbi, Emilio ; Mingione, Giuseppe

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 11 (2000), p. 169-174 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Access to full text
Full (PDF)
Full (DjVu)

Abstract
Résumé

We consider the integral functional $\int f (x, D u) d x$ under non standard growth assumptions of $(p, q)$ -type: namely, we assume that ${|z|}^{p (x)} \leq f (x, z) \leq L (1 + {|z|}^{p (x)})$ , a relevant model case being the functional $\int {|D u|}^{p (x)} d x$ . Under sharp assumptions on the continuous function $p (x) > 1$ we prove regularity of minimizers both in the scalar and in the vectorial case, in which we allow for quasiconvex energy densities. Energies exhibiting this growth appear in several models from mathematical physics.

Consideriamo il funzionale integrale $\int f (x, D u) d x$ sotto ipotesi di crescita non standard di tipo $(p, q)$ : precisamente, supponiamo che ${|z|}^{p (x)} \leq f (x, z) \leq L (1 + {|z|}^{p (x)})$ , ottenendo un funzionale il cui modello è $\int {|D u|}^{p (x)} d x$ . In ipotesi ottimali sulla funzione continua $p (x) > 1$ , dimostriamo la regolarità dei minimi sia nel caso scalare che vettoriale, nel quale copriamo anche il caso di densità di energia quasiconvesse. Energie con crescite come quelle considerate compaiono in diversi modelli della fisica matematica.

Publié le : 2000-09-01

MR 1841690 | Zbl 1008.49030

@article{RLIN_2000_9_11_3_169_0,
     author = {Emilio Acerbi and Giuseppe Mingione},
     title = {Functionals with $p(x)$ growth and regularity},
     journal = {Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni},
     volume = {11},
     year = {2000},
     pages = {169-174},
     zbl = {1008.49030},
     mrnumber = {1841690},
     language = {en},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/RLIN_2000_9_11_3_169_0}
}

Acerbi, Emilio; Mingione, Giuseppe. Functionals with $p(x)$ growth and regularity. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 11 (2000) pp. 169-174. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_2000_9_11_3_169_0/

Bibliographie

[1] Acerbi, E. - Mingione, G., Regularity results for a class of functionals with nonstandard growth. Arch. Rational Mech. Anal., to appear. | Zbl 0984.49020

[2] Acerbi, E. - Mingione, G., Regularity for a class of quasiconvex functionals with nonstandard growth. To appear. | Zbl 1027.49031

[3] Alkhutov, Yu. A., The Harnack inequality and the Hölder property of solutions of nonlinear elliptic equations with a nonstandard growth condition. Differential Equations, 33, 1997, 1653-1663. | MR 1669915 | Zbl 0949.35048

[4] Coscia, A. - Mingione, G., Hölder continuity of the gradient of $p (x)$ -harmonic mappings. C. R. Acad. Sci. Paris, 328, 1999, 363-368. | MR 1675954 | Zbl 0920.49020

[5] Fan, Xiangling - Zhao, Dun, A class of De Giorgi type and Hölder continuity. Nonlinear Anal. T.M.A., 36 A, 1999, 295-318. | MR 1688232 | Zbl 0927.46022

[6] Marcellini, P., Regularity for some scalar variational problems under general growth conditions. J. Optim. Theory Appl., 90, 1996, 161-181. | MR 1397651 | Zbl 0901.49030

[7] Zhikov, V.V., On some variational problems. Russian J. Math. Physics, 5, 1997, 105-116. | MR 1486765 | Zbl 0917.49006