A gradient estimate for solutions to the minimal surface equation can be proved by Partial Differential Equations methods, as in [2]. In such a case, the oscillation of the solution controls its gradient. In the article presented here, the estimate is derived from the Harnack type inequality established in [1]. In our case, the gradient is controlled by the area of the graph of the solution or by the integral of it. These new results are similar to the one announced by Ennio De Giorgi in [3].
Una stima del gradiente delle soluzioni dell’equazione delle superfici minime può essere ricavata, con i metodi funzionali applicati alle equazioni differenziali di tipo ellittico, come è stato fatto in [2]. In tale caso è l’oscillazione della funzione che controlla il gradiente. In questa breve Nota si dimostra che anche l’area del grafico della soluzione come l’integrale della stessa servono allo stesso scopo. La dimostrazione è ricavata da una diseguaglianza del tipo Harnack, stabilita in [1]. Ricordiamo che il ricorso alla diseguaglianza di Harnack per stimare il gradiente era stato preannunciato da Ennio De Giorgi in [3].
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author = {Mario Miranda},
title = {Gradient estimates and Harnack inequalities for solutions to the minimal surface equation},
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Miranda, Mario. Gradient estimates and Harnack inequalities for solutions to the minimal surface equation. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 11 (2000) pp. 27-30. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_2000_9_11_1_27_0/
[1] - , Harnack’s inequality for elliptic differential equations on minimal surfaces. Invent. Math., 15, 1972, 24-46. | MR 308945 | Zbl 0227.35021
[2] - - , Una maggiorazione a priori relativa alle ipersuperficie minimali non parametriche. Arch. Rat. Mech. Anal., 32, 1969, 255-267. | MR 248647 | Zbl 0184.32803
[3] , Maggiorazioni a priori relative ad ipersuperfici minimali. Ist. Naz. di Alta Matematica, Symposia Mathematica II, 1968, 282-284.
[4] - , Minimal surfaces of codimension one. Math. Studies, 91, North Holland Publ. Co., 1984. | MR 795963 | Zbl 0565.49030
[5] , Superfici minime illimitate. Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Cl. Sci. IV, 4, 1977, 313-322. | MR 500423 | Zbl 0352.49020
[6] , Maximum principles and minimal surfaces. Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Cl. Sci. IV, 25, 1997, 667-681. | MR 1655536 | Zbl 1015.49028