A decay estimate for a class of hyperbolic pseudo-differential equations

Lucente, Sandra; Ziliotti, Guido

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 10 (1999), p. 173-190 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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Abstract
Résumé

We consider the equation $u_{t} - i Λ u = 0$ , where $Λ = λ (D_{x})$ is a first order pseudo-differential operator with real symbol $λ (ξ)$ . Under a suitable convexity assumption on $λ$ we find the decay properties for $u (t, x)$ . These can be applied to the linear Maxwell system in anisotropic media and to the nonlinear Cauchy Problem $u_{t} - i Λ u = f (u)$ , $u (0, x) = g (x)$ . If $f (u)$ is a smooth function which satisfies $f (u) ≃ {|u|}^{p}$ near $u = 0$ , and $g$ is small in suitably Sobolev norm, we prove global existence theorems provided $p$ is greater than a critical exponent.

In questo lavoro si considera l’equazione $u_{t} - i Λ u = 0$ ove $Λ = λ (D_{x})$ è un operatore pseudo-differenziale del primo ordine con simbolo $λ (ξ)$ reale. Opportune ipotesi di convessità sui sottolivelli del simbolo $λ$ consentono di dimostrare il decadimento della soluzione $u (t, x)$ . Questa stima si applica al sistema di Maxwell in mezzi anisotropi e al seguente problema nonlineare: $u_{t} - i Λ u = f (u)$ , $u (0, x) = g (x)$ . Supponendo che $f (u)$ sia una funzione regolare che in un intorno dell’origine è equivalente ${|u|}^{p}$ , si dimostra l’esistenza globale della soluzione quando il dato è piccolo in una opportuna norma di Sobolev e l’esponente $p$ è sovracritico.

Publié le : 1999-09-01

MR 1769160 | Zbl 1009.35092

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Lucente, Sandra; Ziliotti, Guido. A decay estimate for a class of hyperbolic pseudo-differential equations. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 10 (1999) pp. 173-190. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_1999_9_10_3_173_0/

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