On the alpine ski with dry friction and air resistance. Some optimization problems for it

Bressan, Aldo

Bressan, Aldo

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 10 (1999), p. 79-129 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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Abstract
Résumé

In the present work, divided in three parts, one considers a real skis-skier system, $Σ_{R}$ , descending along a straight-line $l$ with constant dry friction; and one schematizes it by a holonomic system $Σ = A \cup U$ , having any number $n \geq 4$ of degrees of freedom and subjected to (non-ideal) constraints, partly one-sided. Thus, e.g., jumps and also «steps made with sliding skis» can be schematized by $Σ$ . Among the $n$ Lagrangian coordinates for $Σ$ two are the Cartesian coordinates $ξ$ and $η$ of its center of mass, $C$ , relative to the downward axis that includes $l$ and to the upward axis that is normal to $l$ in a vertical plane; the others are to be regarded as controls in that their values can be determined by the skier. Four alternative laws of air resistance, A2.5,1 to A2.5,4, are considered for $Σ$ . They have increasing simplicity and according to all of them the resultant of air resistance, $m R$ , is parallel to $l$ and independent of $Σ$ 's possible asymmetries with respect to the vertical plane trough $l$ . Briefly, $m R$ is independent of the skier’s configuration $C_{U}$ with respect to the skis, these being always supposed to be parallel to $l$ ; according to A2.5,3 $m R$ is a (possibly non-homogeneous) linear function of $C$ 's velocity $\dot{ξ}$ ; and according to A2.5,4 $m R \equiv 0$ . In Part 1, after some preliminaries, $Σ$ 's dynamic equations are written in a suitable form by which, under the law A2.5,3, a control-free first integral can be deduced, notwithstanding controls can raise and lower $C$ , which affects $C$ 's velocity $ξ$ because of dry friction. Given $Σ$ 's initial conditions at $t = 0$ , this first integral is a relation between $ξ, η, \dot{ξ}, \dot{η}$ and the present time $t$ . In the case $m R \equiv 0$ it can be integrated again. Thus $ξ$ appears to be determined by $η$ and $t$ . The afore-mentioned results on $Σ$ are simple; and here it is convenient to note that the present work does not aim at refined results; furthermore its Parts 2 and 3 are completely based on the afore-mentioned result valid for $m R \equiv 0$ ; and they treat two problems on $Σ$ that have a special interest for $Σ_{R}$ , these problems being useful in connection with races and hence with tourism. This occurs in that, by a suitable device, the conclusions of the above treatment can be used to obtain good informations on $Σ_{R}$ also in case $m R$ is for $Σ_{R}$ practically constant and large. At the end of Part 1, under an air resistance law more general than A2.5,4, one considers the possibility of rendering the (negative) work of dry friction in a given time interval $[0, T]$ arbitrarily small by means of «steps made with sliding skis»; and one shows that this fact has a negligible influence on the length $ξ (T) - ξ (0)$ of the ski-run’s stretch covered by $C$ in $[0, T]$ . This result reasonably holds for $Σ_{R}$ with a good approximation; thus it is «explained» why the above steps are not made in practice. In Part 2, where the identity $m R \equiv 0$ is assumed, the following is considered: Problem 9.1. Given $\bar{ξ} > 0$ and the initial conditions at $t = 0$ , how can one minimize the time $\bar{t} (> 0)$ taken by $C$ 's absciss $ξ$ to cover the ski-run’s stretch $[0, \bar{ξ}]$ ? This Problem concerns alpine ski. On the other hand the few mathematical works on ski, that are known to the author but not related to his papers, deal with-ski jumps. Furthermore Problem 9.1 is different from all preceding ski problems treated by the author in that it involves dry friction, air resistance, and one-sided constraints. For the same reasons $Σ$ cannot be regarded as a special case of some holonomic system to which the author has applied control theory. In conformity with this, instead of solving Problem 9.1 by this theory (Pontriagin’s maximum principle), it is convenient to preliminarily consider the following Problem 6.1. Given $T > 0$ and the initial conditions at $t = 0$ , how can one maximize the length $ξ (T) - ξ (0)$ of the ski-run’s stretch $[0, \bar{ξ}]$ covered by $C$ in the time $T$ ? For this problem $\infty^{\infty}$ solutions are exhibited in $C^{1} \cap P C^{2}$ , so that they are much more regular than the solutions (in $L^{1}$ ) assured by the most known existence theorem in control theory (if applicable). Lastly the solutions of the above two problems are shown to be the same when a certain relation holds between $T$ and $\bar{ξ}$ . The optimal values of $ξ (T)$ and $\bar{t}$ for Problem 6.1 and Problem 9.1 respectively can be expressed by means of the data, independently of $Σ$ 's optimal motions. Various properties of these are considered; and it is shown that, generally, the skier can affect the values of $ξ (T)$ and $\bar{t}$ very little. Part 3 treats $Σ$ 's motions without jumps, i.e., the most common ones. E.g. some upper bounds for the afore-mentioned little influence of the skier are given. Furthermore for every $t \in [0, T[$ one exhibits some conditions equivalent to the possibility of extending a jumpless motion of $Σ$ in $[0, t]$ to such a motion in $[0, T]$ . One shows that this may be useful to implement the «skier $U$ » as a robot, in order to compare jumpless motions of $Σ_{R}$ , with the corresponding dynamic motions of $Σ$ considered in Part 2 where the identity $m R \equiv 0$ is assumed. The afore-mentioned device allows us to perform such a comparison in an interesting real case where $m R$ keeps very near a possibly large constant value.

Nel presente lavoro, diviso in tre parti, si considera un sistema reale sci-sciatore, $Σ_{R}$ , che scende lungo una traiettoria rettilinea $l$ avente attrito costante; e lo si schematizza mediante un sistema olonomo $Σ = A \cup U$ a un imprecisato numero $n \geq 4$ di gradi di libertà e a vincoli (non lisci) in parte unilaterali; e così per $Σ$ possono considerarsi, per es., salti e «passi fatti con sci scivolanti». Delle $n$ coordinate Lagrangiane di $Σ$ , due sono quelle Cartesiane $ξ$ ed $η$ del suo baricentro $C$ , relative all’asse discendente contenente $l$ e all’asse ascendente e ortogonale ad $l$ in un piano verticale; le altre vanno riguardate come controlli, in quanto hanno valori determinabili istante per istante dallo sciatore. Per $Σ$ si considerano quattro leggi alternative per la resistenza dell’aria, A2.5,1-A2.5,4, di semplicità crescente. In tutte il risultante $m R$ di questa resistenza è considerato parallelo a $l$ e indipendente dalle eventuali asimmetrie di $Σ$ rispetto al piano verticale per $l$ . Brevemente, nelle A2.5,2-A2.5,4 $m R$ è indipendente dalla configurazione $C_{U}$ dello sciatore rispetto agli sci, supposti sempre paralleli ad $l$ . Secondo la A2.5,3 $m R$ è lineare nella velocità ma non necessariamente di tipo viscoso; secondo la A2.5,4 è $m R \equiv 0$ . Nella Parte 1, dopo i suaccennati preliminari, si scrivono le equazioni dinamiche di $Σ$ in forma opportuna in modo che, ammessa la A2.5,3, si possa ricavare un certo integrale primo indipendente dai controlli, nonostante questi permettano di alzare e abbassare $C$ , il che influisce sulla velocità $\dot{ξ}$ di $C$ a causa dell’attrito. Date le condizioni iniziali, questo integrale primo è una relazione tra $ξ, η, \dot{ξ}, \dot{η}$ e il tempo $t$ . Nel caso di resistenza dell’aria trascurabile, esso è ulteriormente integrabile; $ξ$ risulta allora determinata da $η$ e dal tempo $t$ . I suddetti risultati sono semplici; e conviene qui notare che il presente lavoro non è di rifinitura; invece, per es., le sue Parti 2 e 3 sono completamente basate sul suaccennato risultato valido per $m R \equiv 0$ ; e trattano due problemi di particolare interesse per $Σ_{R}$ in connessione con le gare e quindi col turismo. Ciò accade in quanto, in base a fatti ben noti sullo sci, un artifizio permette di usare le conclusioni della detta trattazione, in modo da ottenere interessanti buone informazioni su $Σ_{R}$ anche nel caso che, per $Σ_{R}$ , $m R$ sia praticamente costante e magari grande. Alla fine della Parte 1 si mostra, riferendosi a una legge di resistenza dell’aria più generale della A2.5,2, che nonostante il lavoro negativo dell’attrito in un dato intervallo di tempo $[0, T]$ possa ridursi piccolo a piacere mediante «passi fatti con sci scivolanti», ciò in sostanza non influisce affatto sulla lunghezza $ξ (T) - ξ (0)$ del tratto di pista «percorso» da $C$ in $[0, T]$ . Ragionevolmente questi risultati appaiono validi con buona approssimazione; e quindi resta «spiegato» perché in realtà i detti passi non si fanno. Nella Parte 2, trascurando la resistenza dell’aria, si considera il problema seguente: Problema 9.1. Dato $\bar{ξ} > 0$ , come minimizzare il tempo $\bar{t} (> 0)$ in cui l’ascissa $ξ$ di descrive l’intervallo di pista $[0, \bar{ξ}]$ , sotto assegnati dati iniziali? Esso riguarda lo sci da discesa mentre gli unici pochissimi lavori sullo sci, a conoscenza dell’autore e che non si riferiscano a lavori di questo, considerano solo salti dal trampolino; inoltre il Problema 9.1 differisce dai precedenti problemi sullo sci trattati dall’autore (magari con collaboratori) per la presenza in esso dell’attrito, resistenza dell’aria e vincoli unilaterali. Per gli stessi motivi l’attuale sistema $Σ$ non può riguardarsi come un caso speciale di qualche sistema olonomo a cui l’autore ha applicato la teoria dei controlli (eventualmente con collaboratori). In relazione a ciò, invece di risolvere il Problema 9.1 con questa teoria (principio di massimo di Pontriagin), conviene associargli il seguente: Problema 6.1. Dato $T > 0$ e le condizioni iniziali at $t = 0$ , come massimizzare la lunghezza $ξ (T) - ξ (0)$ del tratto di pista «percorso» da $C$ nel tempo $T$ ? Si trovano $\infty^{\infty}$ soluzioni di questo problema in $C^{1} ⋂ P C^{2}$ , ossia ben più regolari delle soluzioni (in $L^{1}$ ) assicurate dal più noto teorema di esistenza in teoria dei controlli (se applicabile). Infine si mostra che le soluzioni dei Problemi 6.1 e 9.1 sono le stesse per $T$ e $\bar{ξ}$ legati da una certa relazione. I valori ottimali di $ξ (T)$ e $\bar{t}$ nei suddetti problemi possono esprimersi mediante i dati, indipendentemente dai moti ottimali di $Σ$ . Si considerano varie proprietà di questi moti. Alcune di esse mostrano che in genere lo sciatore può influire ben poco sui valori di $ξ (T)$ e $\bar{t}$ . La Parte 3 riguarda i moti di $Σ$ senza salti, ossia i più comuni. Tra l’altro, riferendosi a questi, si limita superiormente la suddetta piccola influenza dello sciatore. Inoltre per ogni $t \in [0, T[$ si danno condizioni necessarie e sufficienti per l'estendibilità di un moto senza salti in $t \in [0, t]$ ad un tale moto in $t \in [0, T]$ . Si mostra, tra l’altro, che ciò può essere utile per realizzare lo sciatore $U$ come un robot, al fine di confrontare moti reali di $Σ_{R}$ , largamente arbitrari ma senza salti, con i corrispondenti moti di $Σ$ considerati nella teoria sviluppata nella Parte 2, ove si assume $m R \equiv 0$ ; l'artifizio su accennato permette di riferire il detto confronto a casi reali interessanti in cui $m R$ sia approssimativamente costante e magari grande.

Publié le : 1999-06-01

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Bressan, Aldo. On the alpine ski with dry friction and air resistance. Some optimization problems for it. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 10 (1999) pp. 79-129. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_1999_9_10_2_79_0/

Bibliographie

[1] Arnold, V. I., Mathematical methods in classical mechanics. Springer-Verlag, 1978. | MR 690288 | Zbl 0386.70001

[2] Aldo Bressan, , Incompatibilità dei teoremi di esistenza e unicità del moto per un tipo molto comune e regolare di sistemi meccanici. Ann. Scuola Norm. Pisa, 14, 3, 1960, 333-348. | MR 133950 | Zbl 0096.38204

[3] Aldo Bressan, , On the application of control theory to certain problems for Lagrangian systems, and hyper-impulsive motions for these. I. Some general mathematical considerations on controllizable parameters. Atti Acc. Lincei Rend.fis., s. 8, vol. 82, 1988, 91-105. | MR 999841 | Zbl 0669.70029

[4] Aldo Bressan, , On control theory and its applications to certain problems for Lagrangian systems. On hyper-impulsive motions for these. II. Some purely mathematical considerations for hyperimpulsive motions. Applications to Lagrangian systems. Atti Acc. Lincei Rend. fis., s. 8, vol. 82, 1988, 107-118. | MR 999842 | Zbl 0669.70030

[5] Aldo Bressan, , Hyper-impulsive motions and controllizable coordinates for Lagrangian systems. Atti Acc. Lincei Mem. fis., s. 8, vol. 19, sez. 1a , 1990, 195-246. | MR 1163634

[6] Aldo Bressan, , On some control problems concerning the ski or swing. Mem. Mat. Acc. Lincei, s. 9, vol. 1, fasc. 6, 1991, 147-196. | MR 1119158 | Zbl 0744.49017

[7] Aldo Bressan, - Favretti, M., On motions with bursting characters for Lagrangian mechanical systems with a scalar control. II. A geodesic property of motions with bursting characters for Lagrangian systems. Rend. Mat. Acc. Lincei, s. 9, vol. 3, 1992, 35-42. | MR 1159997 | Zbl 0799.70009

[8] Aldo Bressan, - Motta, M., A class of mechanical systems with some coordinates as controls. A reduction of certain optimization problems for them. Solution methods. Mem. Mat. Acc. Lincei, s. 9, vol. 2, fasc. 1, 1993, 5-30. | MR 1271190 | Zbl 0816.70019

[9] Aldo Bressan, - Motta, M., Some optimization problems with a monotone impulsive character. Approximation by means of structural discontinuities. Mem. Mat. Acc. Lincei, s. 9, vol. 2, fasc. 2, 1994, 31-52. | MR 1273635 | Zbl 0810.93039

[10] Aldo Bressan, - Motta, M., On control problems of minimum time for Lagrangian systems similar to a swing. I. Convexity criteria for sets. Rend. Mat. Acc. Lincei, s. 9, vol. 5, 1994, 247-254. | MR 1298268 | Zbl 0814.70019

[11] Aldo Bressan, - Motta, M., On control problems of minimum time for Lagrangian systems similar to a swing. II. Application of convexity criteria to certain minimum time problems. Rend. Mat. Acc. Lincei, s. 9, vol. 5, 1994, 255-264. | MR 1298269 | Zbl 0814.70020

[12] Aldo Bressan, - Motta, M., Structural discontinuities to approximate some optimization problems with a nonmonotone impulsive character. Rend. Mat. Acc. Lincei, s. 9, vol. 6, 1995, 93-109. | MR 1354223 | Zbl 0858.70012

[13] Elmer, F. J., Nonlinear dynamics of dry friction. Journal of Physics, A30, n.17, 1997, 6057-6063. | MR 1482696 | Zbl 0929.70011

[14] F.I.S.I. (Federazione italiana sport invernali), Sci italiano. 2nd edition, Milano, via Piranesi 20137, 1995, 336 pp.

[15] Krilov, I. A. - Remizov, L. P., Problem of the optimum ski jump. PMM, vol. 38, Moscow 1974, 765-767.

[16] Levi Civita, T. - Amaldi, U., Lezioni di meccanica Razionale. Vol. II, parte 2a , Zanichelli, Bologna 1951, 510 pp. | MR 51043 | Zbl 0047.17301

[17] Piccoli, B., Time-optimal control problems for a swing and a ski. International Journal of Control, vol. 62, n. 6, 1995, 1409-1429. | MR 1637962 | Zbl 0863.49025

[18] Ward-Smith, A. J. - Clement, D., Numerical evaluation of the flight mechanics and trajectory of a ski-jumper. Acta Applicandae Matematicae, 1, 1983, 301-314. | MR 727157 | Zbl 0523.76050