On absolutely-nilpotent of class $ k $ groups

Longobardi, Patrizia; MacHenry, Trueman; Maj, Mercede; Wiegold, James

On absolutely-nilpotent of class

k

groups

Longobardi, Patrizia ; MacHenry, Trueman ; Maj, Mercede ; Wiegold, James

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 6 (1995), p. 201-209 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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Abstract
Résumé

A group $G$ in a variety $V$ is said to be absolutely- $V$ , and we write $G \in A V$ , if central extensions by $G$ are again in $V$ . Absolutely-abelian groups have been classified by F. R. Beyl. In this paper we concentrate upon the class $A N_{k}$ of absolutely-nilpotent of class $k$ groups. We prove some closure properties of the class $A N_{k}$ and we show that every nilpotent of class $k$ group can be embedded in an $A N_{k}$ -gvoup. We describe all metacyclic $A N_{k}$ -groups and we characterize $2$ -generator and infinite $3$ -generator $A N_{2}$ -groups. Finally we study extensions $1 \to N \to H \to G \to 1$ , with $N \leq ζ_{n} (H)$ , the $n$ -centre of $ H $, with $n > 1$ .

Un gruppo $G$ in una varietà $V$ vien detto assolutamente- $V$ (e si scrive $G \in A V$ ) se ogni estensione centrale mediante $G$ appartiene ancora a $V$ . I gruppi assolutamente-abeliani sono stati caratterizzati da F. R. Beyl. In questa Nota si studiano i gruppi assolutamente-nilpotenti di classe $k$ . Si provano alcune proprietà di chiusura della classe $A N_{k}$ , e si mostra che ogni gruppo nilpotente di classe $k$ si può immergere in un $A N_{k}$ -gruppo. Si descrivono i gruppi metaciclici assolutamente-nilpotenti di classe $k$ ed i gruppi $2$ -generati e quelli infiniti $3$ -generati nella classe $A N_{2}$ . Infine si esaminano estensioni $1 \to N \to H \to G \to 1$ , con $N \leq ζ_{n} (H)$ , l'ennesimo centro di $H$ .

Publié le : 1995-12-01

MR 1382706 | Zbl 0862.20028

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Longobardi, Patrizia; MacHenry, Trueman; Maj, Mercede; Wiegold, James. On absolutely-nilpotent of class \( k \) groups. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 6 (1995) pp. 201-209. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_1995_9_6_4_201_0/

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