The exceptional sets for functions of the Bergman space in the unit ball

Jakóbczak, Piotr

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 4 (1993), p. 79-85 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Access to full text
Full (PDF)
Full (DjVu)

Abstract
Résumé

Let $D$ be a domain in $C^{2}$ . Given $w \in C$ , set $D_{w} = \{z \in C ∣ (z, w) \in D\}$ . If $f$ is a holomorphic and square-integrable function in $D$ , then the set $E (D, f)$ of all $w$ such that $f (\cdot, w)$ is not square-integrable in $D_{w}$ has measure zero. We call this set the exceptional set for $f$ . In this Note we prove that whenever $0 < r < 1$ there exists a holomorphic square-integrable function $f$ in the unit ball $B$ in $C^{2}$ such that $E (B, f)$ is the circle $C (0, r) = \{z \in C ∣ |z| = r\}$ .

Sia $D$ un dominio in $C^{2}$ . Per ogni $w \in C$ sia $D_{w} = \{z \in C ∣ (z, w) \in D\}$ . Se $f \in L^{2}$ è olomorfa in $D$ , allora l'insieme $E (D, f)$ dei $w$ per cui $f (\cdot, w)$ non è in $L^{2} (D_{w})$ ha misura nulla. $E (D, f)$ denota l'insieme eccezionale per $f$ . In questa Nota si dimostra che per ogni $r$ , essendo $0 < r < 1$ , esiste una funzione $f \in L^{2}$ , olomorfa nel disco $B$ di $C^{2}$ , per cui $E (B, f) = \{z \in C ∣ |z| = r\}$ .

Publié le : 1993-06-01

MR 1233394 | Zbl 0788.46061

@article{RLIN_1993_9_4_2_79_0,
     author = {Piotr Jak\'obczak},
     title = {The exceptional sets for functions of the Bergman space in the unit ball},
     journal = {Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni},
     volume = {4},
     year = {1993},
     pages = {79-85},
     zbl = {0788.46061},
     mrnumber = {1233394},
     language = {en},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/RLIN_1993_9_4_2_79_0}
}

Jakóbczak, Piotr. The exceptional sets for functions of the Bergman space in the unit ball. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 4 (1993) pp. 79-85. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_1993_9_4_2_79_0/

Bibliographie

[1] Jakóbczak, P., The exceptional sets for functions from the Bergman space. Portugaliae Mathematica, 50, N° 1, 1993, 115-128. | MR 1300590 | Zbl 0802.32004

[2] Šabat, B. W., Introduction to Complex Analysis. Nauka, Moskva1969 (in Russian). | MR 584932