In questo lavoro riassumiamo alcuni risultati di una ricerca riguardante le singolarità (punti di non differenziabilità) delle funzioni convesse. Questa ricerca copre vari aspetti, che vanno dalla stima della dimensione di Hausdorff di certi tipi di singolarità fino allo studio della loro propagazione. Studiamo anche problemi di semicontinuità e rilassamento collegati all'area del grafico del gradiente di una funzione convessa e l'esistenza dei determinanti, in senso debole, dei minori della matrice Hessiana.
In this paper we summarize recent results of a research concerning the singularities (non differentiability points) of convex functions. This research covers various aspects, from the estimate of the Hausdorff dimension of some kinds of singularities to the study of their propagation. We study also semicontinuity and relaxation problems related to the area of the graph of the gradient of a convex function and the existence of weak determinants of the minors of the Hessian matrix.
@article{RLIN_1992_9_3_3_195_0,
author = {Luigi Ambrosio},
title = {Su alcune propriet\`a delle funzioni convesse},
journal = {Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni},
volume = {3},
year = {1992},
pages = {195-202},
zbl = {0758.49007},
mrnumber = {1186915},
language = {it},
url = {http://dml.mathdoc.fr/item/RLIN_1992_9_3_3_195_0}
}
Ambrosio, Luigi. Su alcune proprietà delle funzioni convesse. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 3 (1992) pp. 195-202. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_1992_9_3_3_195_0/
[1] - - , On the singularities of convex functions. Preprint Scuola Normale Superiore, n. 119, 1991, in corso di stampa su: Manuscripta Mathematica. | MR 1185029 | Zbl 0784.49011
[2] - - , On Hamilton-Jacobi-Bellman the propagation of singularities of solutions to equations. 1992, in corso di stampa.
[3] - , Weak determinants and monotone functions. 1992, in corso di stampa.
[4] - , -rectifiable sets. Preprint Università di Trento, 1991. | Zbl 0799.49028
[5] - , On the singularities of the viscosity solutions to Hamilton-Jacobi-Bellman equations. Indiana Univ. Math. J., 36, 1987, 501-524. | MR 905608 | Zbl 0612.70016
[6] , Optimization and Nonsmooth Analysis. Wiley & Sons, New York1983. | MR 709590 | Zbl 0582.49001
[7] , Geometric Measure Theory and Calculus of Variations. Proceedings of the Conference on New Developments in PDE and Applications to Mathematical Physics (Ferrara, 14-18 ottobre 1991), Plenum Press, in corso di stampa. | Zbl 0895.49019
[8] , Geometric Measure Theory. Springer Verlag, Berlin1969. | MR 257325 | Zbl 0874.49001
[9] , The Cauchy problem for a nonlinear first order partial differential equation. J. Differential Equations, 5, 1969, 515-530. | MR 235269 | Zbl 0172.13901
[10] , Monge Ampere functions I. Preprint CMA, Australian National University, 1988.
[11] , Monge Ampere functions II. Preprint CMA, Australian National University, 1988.
[12] - - , Cartesian currents, weak diffeomorphisms and existence theorems in non-linear elasticity. Arch. Rational Mech. Anal., 106, 1989, 97-159. | MR 980756 | Zbl 0677.73014
[13] , Generalized solutions of Hamilton-Jacobi equations. Pitman, Boston1982. | MR 667669 | Zbl 0497.35001
[14] , Geometric Measure Theory - A beginners guide. Academic Press, Boston1988. | MR 933756 | Zbl 0819.49024
[15] , Generalized derivative and differentiability almost everywhere. Math. USSR Sbornik, 4, 1968, 293-302. | Zbl 0176.12001
[16] , Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton1970. | MR 274683 | Zbl 0193.18401
[17] - , On the integrability of the Jacobian under minimal hypotheses. Preprint del Dipartimento di Matematica di Napoli, 1991. | MR 1176362 | Zbl 0766.46016
[18] , Lectures on Geometric Measure Theory. Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis, Australian National University, Canberra 1983. | MR 756417 | Zbl 0546.49019