On the eigenvalues of an elliptic operator $ a(x,H(u)) $

Campanato, Sergio

On the eigenvalues of an elliptic operator

a (x, H (u))

Campanato, Sergio

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 3 (1992), p. 107-110 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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Abstract
Résumé

Let $Ω$ be a bounded open convex set of class $C^{2}$ . Let $a (x, H (u))$ be a non linear operator satisfying the condition (A) (elliptic) with constants $α$ , $γ$ , $δ$ . We prove that a number $λ \geq 0$ is an eigenvalue for the operator $a (x, H (u))$ if and only if the number $α λ$ is an eigen-value for the operator $Δ u$ . If $λ \geq 0$ , the two systems $a (x, H (u)) = λ u$ and $Δ u = α λ u$ have the same solutions. In particular, also the eventual eigen-values of the operator $a (x, H (u))$ should all be negative. Finally, we obtain a sufficient condition for the existence of solutions $u \in H^{2} \cap H_{0}^{1} (Ω)$ of the system $a (x, H (u)) = b (x, u, D u)$ where $b (x, u, p)$ is a vector in $R^{N}$ with a controlled growth.

Sia $Ω$ un aperto limitato di classe $C^{2}$ e convesso. Sia $a (x, H (u))$ un operatore non lineare che verifica la condizione {A) (è ellittico) con costanti $α$ , $γ$ , $δ$ . Si dimostra che il numero $λ \geq 0$ è un autovalore per l'operatore $a (x, H (u))$ se e solo se il numero $α λ$ è un autovalore per l'operatore $Δ u$ . Se $λ \geq 0$ , i due sistemi $a (x, H (u)) = λ u$ e $Δ u = α λ u$ hanno le stesse soluzioni. In particolare anche gli eventuali autovalori dell'operatore $a (x, H (u))$ sono tutti negativi. Si ottiene infine una condizione sufficiente per l'esistenza di soluzioni $u \in H^{2} \cap H_{0}^{1} (Ω)$ del sistema $a (x, H (u)) = b (x, u, D u)$ dove $b (x, u, p)$ è un vettore di $R^{N}$ ad andamento controllato.

Publié le : 1992-06-01

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Campanato, Sergio. On the eigenvalues of an elliptic operator \( a(x,H(u)) \). Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 3 (1992) pp. 107-110. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_1992_9_3_2_107_0/

Bibliographie

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[2] Campanato, S., Sistemi differenziali del 2° ordine di tipo ellittico. Quaderno 1 del Dottorato di Ricerca in Matematica, Catania1991.

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