Convex approximations of functionals with curvature

Bellettini, Giovanni; Paolini, Maurizio; Verdi, Claudio

Bellettini, Giovanni ; Paolini, Maurizio ; Verdi, Claudio

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 2 (1991), p. 297-306 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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Abstract
Résumé

We address the numerical minimization of the functional $F (v) = \int_{Ω} |D v| + \int_{\partial Ω} μ v d H^{n - 1} - \int_{Ω} x v d x$ , for $v \in B V (Ω; \{- 1, 1\})$ . We note that $F$ can be equivalently minimized on the larger, convex, set $B V (Ω; [- 1, 1])$ and that, on that space, $F$ may be regularized with a sequence ${F_{ϵ} (v) = \int_{Ω} \sqrt{ϵ^{2} + {|D v|}^{2}} + \int_{\partial Ω} μ v d H^{n - 1} - \int_{Ω} x v d x}_{ϵ}$ of regular functionals. Then both $F$ and $F_{ϵ}$ can be discretized by continuous linear finite elements. The convexity of the functionals in $B V (Ω; [- 1, 1])$ is useful for the numerical minimization of $F$ . We prove the $Γ - L^{1} (Ω)$ -convergence of the discrete functionals to $F$ and present a few numerical examples.

Si studia la minimizzazione numerica del funzionale $F (v) = \int_{Ω} |D v| + \int_{\partial Ω} μ v d H^{n - 1} - \int_{Ω} x v d x$ , per $v \in B V (Ω; \{- 1, 1\})$ , i cui minimi relativi sono funzioni caratteristiche di insiemi $A \subseteq Ω \subset R^{n}$ con frontiera di curvatura media $κ$ ed angolo di contatto $\arccos (μ)$ all'intersezione con $\partial Ω$ . Si osserva che $F$ può essere equivalentemente minimizzato sullo spazio convesso $B V (Ω; [- 1, 1])$ , dove viene regolarizzato con una successione di funzionali regolari ${F_{ϵ} (v) = \int_{Ω} \sqrt{ϵ^{2} + {|D v|}^{2}} + \int_{\partial Ω} μ v d H^{n - 1} - \int_{Ω} x v d x}_{ϵ}$ . Sia $F$ che $F_{ϵ}$ vengono quindi discretizzati con elementi finiti continui lineari. La convessità dei funzionali in $B V (Ω; [- 1, 1])$ gioca un ruolo importante nella minimizzazione numerica di $F$ . Si dimostra la $Γ$ -convergenza dei funzionali discreti a $F$ in $L^{1} (Ω)$ e si presentano, infine, alcuni esempi numerici.

Publié le : 1991-12-01

MR 1152636 | Zbl 0754.65066

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Bellettini, Giovanni; Paolini, Maurizio; Verdi, Claudio. Convex approximations of functionals with curvature. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 2 (1991) pp. 297-306. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_1991_9_2_4_297_0/

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