On a functional equation arising in the kinetic theory of gases

Arkeryd, Leif; Cercignani, Carlo

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 1 (1990), p. 139-149 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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Abstract
Résumé

The problem of finding the summational collision invariants for the Boltzmann equation leads to a functional equation related to the Cauchy equation. The solution of this equation is known under different assumptions on its unknown $ψ$ . Most proofs assume that the equation is pointwise satisfied, while the result needed in kinetic theory concerns the solutions of the equation when the latter is satisfied almost everywhere. The only results of this kind appear to be due to the authors of the present paper. Here the problem is tackled with the aim of giving a simple proof that the most general solution of the problem is not different from the standard one when the equation is satisfied almost everywhere in $R^{3} \times R^{3} \times S^{2}$ and $ψ$ is assumed to be measurable and finite a.e.

Il problema di trovare gli invarianti d'urto per l'equazione di Boltzmann porta a un'equazione funzionale legata all'equazione di Cauchy. La soluzione di questa equazione è nota sotto diverse ipotesi sull'incognita $ψ$ . La maggior parte delle dimostrazioni sono basate sull'ipotesi che l'equazione sia soddisfatta puntualmente, mentre il risultato richiesto nella teoria cinetica riguarda le soluzioni dell'equazione quando questa è soddisfatta quasi ovunque. I soli risultati di questo tipo sembrano dovuti agli autori del presente lavoro. Qui si affronta il problema con lo scopo di dare una dimostrazione semplice del fatto che la soluzione più generale non è diversa da quella usuale anche quando si ritiene l'equazione soddisfatta quasi ovunque in $R^{3} \times R^{3} \times S^{2}$ e $ψ$ misurabile e finita quasi ovunque.

Publié le : 1990-05-01

MR 1081397 | Zbl 0703.76062

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Arkeryd, Leif; Cercignani, Carlo. On a functional equation arising in the kinetic theory of gases. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 1 (1990) pp. 139-149. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_1990_9_1_2_139_0/

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