Periodic solutions of the Rayleigh equation with damping of definite sign

Omari, Pierpaolo; Villari, Gabriele

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 1 (1990), p. 29-35 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Access to full text
Full (PDF)
Full (DjVu)

Abstract
Résumé

The existence of a non-trivial periodic solution for the autonomous Rayleigh equation $\ddot{x} + F (\dot{x}) + g (x) = 0$ is proved, assuming conditions which do not imply that $F (x) x$ has a definite sign for $|x|$ large. A similar result is obtained for the periodically forced equation $\ddot{x} + F (\dot{x}) + g (x) = e (t)$ .

Si dimostra l'esistenza di soluzioni periodiche non costanti per l'equazione di Rayleigh autonoma $\ddot{x} + F (\dot{x}) + g (x) = 0$ senza supporre che $F (x) x$ abbia segno definito per grandi valori di $|x|$ . Analogo risultato si ottiene per l'equazione $\ddot{x} + F (\dot{x}) + g (x) = e (t)$ periodica.

Publié le : 1990-02-01

MR 1081823 | Zbl 0696.34030

@article{RLIN_1990_9_1_1_29_0,
     author = {Pierpaolo Omari and Gabriele Villari},
     title = {Periodic solutions of the Rayleigh equation with damping of definite sign},
     journal = {Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni},
     volume = {1},
     year = {1990},
     pages = {29-35},
     zbl = {0696.34030},
     mrnumber = {1081823},
     language = {en},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/RLIN_1990_9_1_1_29_0}
}

Omari, Pierpaolo; Villari, Gabriele. Periodic solutions of the Rayleigh equation with damping of definite sign. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Matematica e Applicazioni, Tome 1 (1990) pp. 29-35. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLIN_1990_9_1_1_29_0/

Bibliographie

[1] Ascari, A., Studio asintotico di un'equazione relativa alla dinamica del punto. Rend. Ist. Lomb. Sc. Lett., 16, 1952, 278-288. | MR 58045 | Zbl 0049.18405

[2] Bucci, F., On the existence of periodic solutions for the generalized Liénard equation. Boll. U.M.I., (7) 3B, 1989, 155-168. | MR 997336 | Zbl 0683.34023

[3] Caccioppoli, R. - Ghizzetti, A., Ricerche asintotiche per una particolare equazione differenziale non lineare. Mem. R. Acc. d'Italia, 3, 1942, 427-440. | JFM 68.0193.02 | MR 11353 | Zbl 0027.39801

[4] Caprioli, L., Sulle soluzioni periodiche di una equazione fortemente non lineare. Boll. U.M.I., 9, 1954, 271-282. | MR 68070 | Zbl 0057.07101

[5] Cecconi, J., Su di un'equazione differenziale di rilassamento. Atti Acc. Lincei Rend, fis., s. 8, vol. 9, 1950, 38-44. | MR 40525 | Zbl 0038.24901

[6] Cecconi, J., Su di un'equazione differenziale non lineare del secondo ordine. Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, 4, 1950, 245-278. | MR 42015 | Zbl 0039.31202

[7] Dancer, E. N., On the ranges of certain damped nonlinear differential equations. Ann. Mat. Pura Appl., 119, 1978, 281-295. | MR 551231 | Zbl 0416.34029

[8] Invernizzi, S., Periodic solutions of nonlinear Rayleigh systems. Analisi Funzionale e Applicazioni, Suppl. Boll. U.M.I., 1, 1980, 45-52. | MR 677690 | Zbl 0439.34032

[9] Invernizzi, S. - Zanolin, F., Periodic solutions of a differential delay equation of Rayleigh type. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 61 , 1979, 25-37. | MR 569654 | Zbl 0429.34064

[10] Krall, G., Dinamica e aereodinamica dei fili, III. Problemi non lineari delle vibrazioni visibili. Atti Acc. Lincei Rend, fis., s. 8, vol. 5, 1948, 197-203. | MR 29563 | Zbl 0037.27402

[11] Lefschetz, S., Differential Equations: Geometric Theory. Interscience, New York1959. | MR 153903 | Zbl 0080.06401

[12] Malgarini, G., Studio asintotico del moto di un oscillatore elastico con resistenza del tipo subviscoso. Rend. Ist. Lomb. Sc. Lett., 86, 1953, 258-280. | MR 65751 | Zbl 0052.41101

[13] Mawhin, J., Degré topologique et solutions périodiques des systèmes différentielles nonlinéaires. Bull. Soc. Roy. Sci. Liège, 38, 1969, 308-398. | MR 594965 | Zbl 0186.41704

[14] Omari, P. - Villari, Gab., On a continuation lemma for the study of a certain planar system with applications to Liénard and Rayleigh equations. Results in Mathematics, 14, 1988, 156-173. | MR 956011 | Zbl 0661.34034

[15] Reissig, R., Periodische Erregung eines einfachen, Schwingers mit Selbststeuerung. Math. Nachr., 15, 1956, 181-190. | MR 86215 | Zbl 0073.07603

[16] Reissig, R., Selbsterregung eines einfachen Schwingers. Math. Nachr., 15, 1956, 191-196. | MR 86216 | Zbl 0073.07604

[17] Reissig, R. - Sansone, G. - Conti, R., Qualitative Théorie Nichtlinearer Differentialgleichungen. Edizioni Cremonese, Roma 1963. | MR 158121 | Zbl 0114.04302

[18] Reuter, G. E. H., Boundedness theorems for nonlinear differential equations of the second order. J. London Math. Soc., 27, 1952, 48-58. | MR 47217 | Zbl 0048.06901

[19] Sansone, G. - Conti, R., Equazioni differenziali non lineari. Edizioni Cremonese, Roma 1956. | MR 88607 | Zbl 0075.26803

[20] Stoker, J. J., Nonlinear Vibrations in Mechanical and Electrical Systems. Interscience, New York1950. | MR 34932 | Zbl 0809.70001

[21] Stoppelli, F., Su di un'equazione differenziale della meccanica dei fili. Rend. Acc. Sci. Fis. Mat. Napoli, 19, 1952, 109-114. | MR 60096 | Zbl 0053.24505

[22] Villari, Gaet., Criteri di esistenza di soluzioni periodiche per una classe di equazioni differenziali del secondo ordine non lineari. Ann. Mat. Pura Appl., 65, 1964, 153-166. | MR 170066 | Zbl 0128.31803

[23] Villari, Gab., Extensions of some results on forced nonlinear oscillations. Ann. Mat. Pura Appl., 137, 1984, 371-393. | MR 772265 | Zbl 0574.34021

[24] Villari, Gab. - Zanolin, F., On a dynamical system in the Liénard plane. Necessary and conditions for the intersection with the vertical isocline and applications. Funkc. Ekv., to appear. | Zbl 0731.34049

[25] Zanolin, F., Periodic solutions for second order differential sufficient systems with damping. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 65, 1981, 223-234. | MR 653296 | Zbl 0487.34033

[26] Zanolin, F., On forced nonlinear oscillations for some second order delay-differential systems. In: F. Kappel - W. Shappacher (eds.), Evolution equations and their applications. Researches Notes in Mathematics, Pitman, Boston, vol. 68, 1982, 295-313. | MR 668394 | Zbl 0492.34058