A remark on the asymmetry of convolution operators

Giulini, Saverio

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti, Tome 83 (1989), p. 85-88 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Abstract

A convolution operator, bounded on $L^{q}(\mathbb{R}^{n})$, is bounded on $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$, with the same operator norm, if $p$ and $q$ are conjugate exponents. It is well known that this fact is false if we replace $\mathbb{R}^{n}$ with a general non-commutative locally compact group $G$. In this paper we give a simple construction of a convolution operator on a suitable compact group $G$, wich is bounded on $L^{q}(G)$ for every $q \in [2,\infty)$ and is unbounded on $L^{p}(G)$ if $p \in [1,2)$.

Résumé

É noto che un convolutore limitato $L^{q}(\mathbb{R}^{n})$ è anche limitato su $L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ se $q$ e $p$ sono esponenti coniugati: inoltre si ha eguaglianza delle norme. Questo fatto non è più vero se a $\mathbb{R}^{n}$ si sostituisce un generico gruppo $G$ localmente compatto non commutativo. Ciò è stato dimostrato tempo fa per particolari (intervalli di) valori di $q$ e $p$. In questo lavoro si costruisce un gruppo compatto $G$ per il quale esiste una famiglia di convolutori limitati su $L^{q}(G)$ per ogni $q \in [2,\infty)$, i quali non sono limitati per nessun $p \in [1,2)$.

Détail

Publié le : 1989-12-01

MR 1142443 | Zbl 0761.47014

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