Wallman-type compaerifications and function lattices

Caterino, Alessandro ; Vipera, Maria Cristina

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti, Tome 82 (1988), p. 679-683 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Abstract

Let $F \subset C^{\ast} (X)$ be a vector sublattice over $\mathbb{R}$ which separates points from closed sets of $X$. The compactification $e_{F}X$ obtained by embedding $X$ in a real cube via the diagonal map, is different, in general, from the Wallman compactification $\omega (Z(F))$. In this paper, it is shown that there exists a lattice $F_{z}$ containing $F$ such that $\omega (Z(F)) = \omega (Z(F_{z})) = e_{F}X$. In particular this implies that $\omega (Z(F)) \ge e_{F}X$. Conditions in order to be $\omega (Z(F)) = e_{F}X$ are given. Finally we prove that, if $\alpha X$ is a compactification of $X$ such that $Cl_{\alpha X} (\alpha X \setminus X)$ is $0$-dimensional, then there is an algebra $A \subset C^{ast} (X)$ such that $\omega (Z(A)) = e_{A} X = \alpha X$.

Résumé

Sia $F \subset C^{\ast} (X)$ reticolo ed $\mathbb{R}$ spazio vettoriale che separa i punti dai chiusi. La compattificazione $e_{F}X$, ottenuta immergendo $X$ in un cubo reale mediante l'applicazione diagonale $e_{F}$, è in generale diversa dalla compattificazione di Wallman $\omega (Z(F))$. In questa nota si dimostra che esiste un reticolo $F_{z}$ contenente $F$ tale che $\omega (Z(F)) = \omega (Z(F_{z})) = e_{F}X$. Ciò implica in particolare che $\omega (Z(F)) \ge e_{F}X$. Si danno condizioni necessarie e sufficienti affinché valga l'uguaglianza. Infine si dimostra che, se $\alpha X$ è una compattificazione di $X$ tale che $Cl_{\alpha X} (\alpha X \setminus X)$ è zero-dimensionale, allora esiste un'algebra $A$ di funzioni continue limitate definite su $X$ tale che $\omega (Z(A)) = e_{A} X = \alpha X$.

Détail

Publié le : 1988-12-01

MR 1139815 | Zbl 0734.54016

Bibliographie

[1] Aló, R.A. and Shapiro, H.L. (1968) - A note on compactifications and semi-normal spaces, J. Austr. Math. Soc., 8, 102-108. | MR 227943 | Zbl 0161.42202

[2] Baayen, P.C. and Van Mill, J. (1978) - Compactifications of locally compact spaces with zero-dimensional remainder, Top. Appl., 9, 125-129. | MR 493967 | Zbl 0402.54020

[3] Ball, B.J. and Yokura, S. (1983) - Compactifications determined by subsets of $C^{\ast}(X)$, II, Top. Appl., 15, 1-6. | MR 676960 | Zbl 0489.54019

[4] Bandt, C. (1977) - On Wallman-Shanin compactifications, Mat. Nachr., 77, 333-351. | MR 451202 | Zbl 0276.54016

[5] Biles, C.M. (1970) - Wallman-type compactifications, Proc. Am. Math. Soc., 25, 363-368. | MR 263029 | Zbl 0194.54701

[6] Blasco, J.L. (1983) - Hausdorff compactifications and Lebesgue sets; Top. Appl., 15, 111-117. | MR 686089 | Zbl 0498.54021

[7] Brooks, R.M. (1967) - On Wallman compactifications, Fund. Math., 60, 157-173. | MR 210069 | Zbl 0147.41402

[8] Caterino, A. and Vipera, M.C. - Weight of a compactification and generating sets of functions, Rendic. Sem. Mat. Univ. Padova, to appear. | MR 964018 | Zbl 0657.54020

[9] Chandler, R.E. (1976) - Hausdorff Compactification, Marcel Dekker, New York. | MR 515002 | Zbl 0338.54001

[10] Frink, O. (1964) - Compactifications and semi-normal spaces, Amer. J. Math., 86, 602-607. | MR 166755 | Zbl 0129.38101

[11] Steiner, E.F. (1968) - Wallman spaces and compactifications, Fund. Math., 61, 295-304. | MR 222849 | Zbl 0164.23501