Existence of discontinuous absolute minima for certain multiple integrals without growth properties

Cesari, Lamberto

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti, Tome 82 (1988), p. 661-671 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Abstract

In the present paper the author discusses certain multiple integrals $I(u)$ of the calculus of variations satisfying convexity conditions, and no growth property, and the corresponding Serrin integrals $\mathfrak{I}(u)$, to which the existence theorems in [3,4,5] do not apply. However, in the present paper, the integrals $I(u)$ and $\mathfrak{I}(u)$ are reduced to simpler form $H(v)$ and $\mathcal{H}(v)$ to which the existence theorems above apply. Thus, we derive that $I(u) \le \mathfrak{I}(u)$, $H(v) \le \mathcal{H}(v)$, we obtain the existence of the absolute minimum for the Serrin forms $\mathfrak{I}(u)$ and $\mathcal{H}(v)$, and such minimum is given by BV functions, possibly discontinuous and not of Sobolev.

Résumé

Nel presente lavoro si discutono certi integrali multipli $I(u)$ del calcolo delle variazioni, soddisfacenti condizioni di convessità, non aventi proprietà di crescita, e i corrispondenti integrali di Serrin $\mathfrak{I}(u)$, a cui i teoremi di esistenza in [3,4,5] non si applicano. Tuttavia, nel presente lavoro gli integrali $I(u)$ e $\mathfrak{I}(u)$ sono ridotti a forme più semplici $H(v)$ e $\mathcal{H}(v)$ a cui i teoremi di esistenza detti sopra sono applicabili. Così ne risulta che $I(u) \le \mathfrak{I}(u)$, $H(v) \le \mathcal{H}(v)$, e otteniamo l'esistenza del minimo assoluto per le forme di Serrin $\mathfrak{I}(u)$ e $\mathcal{H}(v)$, dato da funzioni BV, possibilmente discontinue e non di Sobolev.

Détail

Publié le : 1988-12-01

MR 1139813 | Zbl 0736.49029

Bibliographie

[1] Cesari, L. (1936) - Sulle funzioni a variazione limitata, «Annali Scuola Norm. Sup. Pisa» (2) 5, 299-313. | JFM 62.0247.03 | MR 1556778

[2] Cesari, L. (1983) - Optimization-Theory and Applications, Springer Verlag. | MR 688142 | Zbl 0506.49001

[3] Cesari, L., Brandi, P. e Salvatori, A. (1988) - Discontinuous solutions in problems of optimization, «Annali Scuola Norm. Sup. Pisa», 15, 219-237. | MR 1007398 | Zbl 0673.49020

[4] Cesari, L., Brandi, P. e Salvadori, A. (1987) - Existence theorems concerning simple integrals of the calculus of variations for discontinuous solutions, «Archive Rat. Mech. Anal.», 98, 307-328. | MR 872750 | Zbl 0618.49004

[5] Cesari, L., Brandi, P. e Salvadori, A. (1988) - Existence theorems for multiple integrals of the calculus of variations for discontinuous solutions, «Annali Mat. Pura Appl.», (4), 152, 95-121. | MR 980974 | Zbl 0668.49018

[6] Cesari, L., Brandi, P. e Salvadori, A., Seminormality conditions in the calculus of variations for BV solutions, to appear. | MR 1199659 | Zbl 0786.49005

[7] Cesari, L. e Pucci, P. (1989) - Remarks on discontinuous optimal solutions for simple integrals of the calculus of variations, «Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena», 37, 335-379. | MR 1019636 | Zbl 0713.49001

[8] Krickeberg, K. (1957) - Distributions, Funktionen beschränkter Variation und Lehesguescher Inhalt nichtparametrischer Flächen, — «Annali Mat. Pura Appl.», (4) 44, 92, 105-133. | MR 95922 | Zbl 0082.26702