On the Gauss-Lucas'lemma in positive characteristic

Bartocci, Umberto ; Vipera, Maria Cristina

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti, Tome 82 (1988), p. 211-216 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Abstract

If $f(x)$ is a polynomial with coefficients in the field of complex numbers, of positive degree $n$, then $f(x)$ has at least one root a with the following property: if $\mu \le k \le n$, where $\mu$ is the multiplicity of $\alpha$, then $f^{(k)} (\alpha) \ne 0$ (such a root is said to be a "free" root of $f(x)$). This is a consequence of the so-called Gauss-Lucas'lemma. One could conjecture that this property remains true for polynomials (of degree $n$) with coefficients in a field of positive characteristic $p > n$ (Sudbery's Conjecture). In this paper it is shown that, on the contrary, if $n > p > 2n—2$ then there exist polynomials which do not have free roots at all. Then one replaces Sudbery's conjecture by supposing that the required property is true for simple polynomials.

Résumé

Si dimostra che, contrariamente ad una congettura di Sudbery, per ogni intero $n \ge 4$ e almeno per ogni primo $p \in (n,2n—2)$, esistono polinomi di grado $n$, su campi di caratteristica $p$, che non ammettono radici "libere" (diciamo che $\alpha$ è una radice libera di $f(x)$ se, detta $\mu$ la sua molteplicità, si ha $f^{(k)} (\alpha) \ne 0$ per ogni $k:\mu \le k \le n)$). Si esamina poi il caso particolare dei polinomi semplici, fornendo in proposito alcuni risultati e formulando una nuova congettura.

Détail

Publié le : 1988-06-01

MR 1152642 | Zbl 0723.12003

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