On the application of control theory to certain problems for Lagrangian systems, and hyper-impulsive motion for these. I. Some general mathematical considerations on controllizable parameters

Bressan, Aldo

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti, Tome 82 (1988), p. 91-105 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Abstract

In applying control (or feedback) theory to (mechanic) Lagrangian systems, so far forces have been generally used as values of the control $u(\cdot)$. However these values are those of a Lagrangian co-ordinate in various interesting problems with a scalar control $u=u(\cdot)$, where this control is carried out physically by adding some frictionless constraints. This pushed the author to consider a typical Lagrangian system $\Sigma$, referred to a system $\chi$ of Lagrangian co-ordinates, and to try and write some handy conditions, (C), on the coefficients of $\Sigma$'s kinetic energy $\mathcal{T}$ and the Lagrangian components $\mathcal{Q}_{\mathcal{R}}$ of the forces applied to $\Sigma$, at least sufficient to satisfactorily use controls of the second kind. More specifically the conditions (C) sought for, should imply that the last M coordinates in $\chi$ are 1-dimensionally controllizable, in the sense that one can satisfactorily treat extremum problems concerning a class $\Gamma_{\tilde{\gamma},\Delta,\Delta^{\prime}}$, of controls $\gamma = \hat{\gamma}(t) = \tilde{\gamma} \left[u(t)\right]$ that (i) take as values $M$-tuples of values of those co-ordinates, (ii) have the same arbitrarily prefixed $C^{2}$-path $\tilde{\gamma}$ as trajectory, (iii) are Lebesgue integrable in that $u(\cdot) \in \mathfrak{L}^{1} (\Delta,\Delta^{\prime})$ where $\Delta$ and $\Delta^{\prime}$ are suitable compact segments of $\mathbb{R}(\mathring{\Delta} \ne \emptyset \ne \mathring{\Delta}^{\prime})$, and (iv) are physically carried out in the above way. One of the aims of [4] is just to write the above conditions (C) by using some recent results in control theory-see [2] where Sussmann's paper [7] is extended from continuous to measurable controls-and some consequences of them presented in [3]. The present work, divided into the Notes I to III, has in part the role of an abstract, in that the works [4] to [5] have not yet been proposed for publication and e.g. conditions (C) are written in Note II, i.e. [6], without proof. In Note I conditions (C) are shown to be necessary for the last $M$ coordinates of $\chi$ to be 1-dimensionally controllizable; in doing this proof, this controllizability is regarded to include certain (relatively weak) continuity properties, which are important for checking experimentally the theory being considered, and which (therefore) are analogues of the requirement that the solutions of (physical) differential systems shoud depend on the initial data continuously. Conversely conditions (C) imply that even stronger continuity properties hold for $(\Sigma,\chi,M)$. The above proofs are performed in Note I from the general (purely mathematical) point of view considered in [2], by (also) using some results obtained in ([2] and) [3]. The work [4] also aims at extending the well known theory of impulsive motions, with continuous positions but with velocities suffering first order discontinuities, to a theory of hyper-impulsive motions, in which positions also suffer such discontinuities. In case the components $\mathcal{Q}_{\mathcal{R}}$ depend on Lagrangian velocities in a certain way, in Note II-see its Summary-one proves some analogues for jumps of the results on controllizability stated in Note I. In Part III some intuitive justifications given in Part II are replaced with theorems; furthermore an invariance property is proved.

Résumé

Nelle applicazioni della teoria dei controlli a sistemi (meccanici) Lagrangiani, come valori del controllo $u(\cdot)$ finora sono state usate (generalmente) delle forze. Vi sono però vari problemi interessanti in cui tali valori sono quelli di una co-ordinata Lagrangiana e il controllo è realizzato fisicamente aggiungendo vincoli lisci - v. per es. [5]. Ciò ha indotto l'autore a considerare un generico sistema Lagrangiano $\Sigma$ riferito ad un generico sistema $\chi$ di coordinate Lagrangiane, e a proporsi di scrivere maneggevoli condizioni, (C), sui coefficienti dell'energia cinetica $\mathcal{T}$ di $\Sigma$ e sulle componenti Lagrangiane $\mathcal{Q}_{\mathcal{R}}$ delle forze attive su esso agenti, che siano almeno sufficienti affinché controlli del secondo tipo si possano usare soddisfacentemente. Più precisamente le cercate condizioni (C) dovevano implicare la controllizzabilità 1-dimensionale delle ultime $m$ co-ordinate in $\chi$, cioè la possibilità di trattare soddisfacentemente problemi di estremo concernenti una classe $\Gamma_{\tilde{\gamma},\Delta,\Delta^{\prime}}$ di controlli $\gamma = \hat{\gamma}(t) = \tilde{\gamma} \left[u(t)\right]$ che (i) prendono per valori $M$-uple di valori delle dette co-ordinate, (ii) hanno la stessa traiettoria $\tilde{\gamma}$ ($\in C^{2}$), fissata ad arbitrio, (iii) sono integrabili secondo Lebesgue in quanto $u(\cdot) \in \mathfrak{L}^{1} (\Delta,\Delta^{\prime})$ ove $\Delta$ e $\Delta^{\prime}$ sono opportuni segmenti compatti di $\mathbb{R} (\mathring{\Delta} \ne \emptyset \ne \mathring{\Delta}^{\prime})$, e (iv) sono realizzati fisicamente nel modo suddetto. In [4] ci si è proposti, tra l'altro, di scrivere tali condizioni (C), usando certi recenti risultati matematici in teoria dei controlli - v. [2] ove il lavoro [7] di Sussmann riguardante controlli continui, è esteso con. altro metodo a controlli misurabili - e alcuni loro complementi e adattamenti esposti in [3], Il presente lavoro, diviso nelle Note I, II e III, ha in (piccola) parte carattere preventivo, in quanto i lavori [3], [4] e [5] non sono ancora stati pubblicati e, per es., le condizioni (C) sono scritte nella Nota II senza dimostrazione. Nella Nota I si deduce che le condizioni (C) sono necessarie per la controllizzabilità 1-dimensionale delle ultime $M$ co-ordinate in $\chi$; e ciò si fa riguardando tale controllizzabilità come includente certe proprietà di regolarità (relativamente) deboli e analoghe al requisito che le soluzioni di sistemi differenziali (inclusi in leggi fisiche) dipendano dai dati iniziali con continuità. Viceversa le condizioni (C) implicano che anche certe più forti proprietà di continuità valgano per la terna $(\Sigma,\chi,M)$ . Le dimostrazioni suddette si fanno nella Nota I dal punto di vista generale (puramente matematico) considerato in [2] e usando (anche) risultati ottenuti in ([2] e) [3]. Il lavoro [4] è fatto anche per estendere la ben nota teoria dei moti impulsivi, con posizioni continue ma velocità aventi discontinuità di prima specie, a una teoria dei moti iperimpulsivi, in cui (anche) le posizioni subiscono tali discontinuità. Nel caso di una certa dipendenza delle $\mathcal{Q}_{\mathcal{R}}$ dalle velocità Lagrangiane, nella Nota II, cioè [6] - v. il suo Sommario - si ottengono alcuni analoghi per le dette discontinuità, dei risultati stabiliti per la controllizzabilità nella Nota I. Nella Parte III alcune giustificazioni intuitive date nella Parte II sono sostituite da teoremi; inoltre ivi si dimostra un teorema d'invarianza.

Détail

Publié le : 1988-03-01

MR 0999841 | Zbl 0669.70029

Bibliographie

[1] Alexéev, V., Tikhomirov, V. and Fomine, G. (1982) - Commande optimale, Mir, Moscow, 447 pp. | MR 728225

[2] Bressan, Alberto (1987) - On differential systems with impulsive controls, «Sem. Mat. Univ. Padova», 78, p. 227. | MR 934514

[3] Bressan, Aldo - On some recent results in control theory, for their application to Lagrangian systems (memoir being printed on «Atti Accad. dei Lincei»),

[4] Bressan, Aldo - Hyper-impulsive motions and controllizable co-ordinates for Lagrangian systems (in preparation).

[5] Bressan, Aldo - On some control problems concerning the ski or swing (in preparation). | Zbl 0744.49017

[6] Bressan, Aldo - Some purely mathematical considerations for hyperimpulsive motions. Applications to Lagrangian systems (being Printed on Atti Accad. dei Lincei). | Zbl 0669.70030

[7] Sussmann, H.J. (1978) - On the gap between deterministic and stocastic ordinary differential equations, «Ann. of Probability», 6 (1978), pp. 19-41. | MR 461664 | Zbl 0391.60056