Une propriété topologique de l'ensemble des points fixes d'une contraction multivoque à valeurs convexes

Ricceri, Biagio

Ricceri, Biagio

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti, Tome 81 (1987), p. 283-286 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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Abstract
Résumé

In this Note we first establish a result on the structure of the set of fixed points of a multi-valued contraction with convex values. As a consequence of this result, we then obtain the following theorem: Let $(U,\|\cdot\|_{U})$ , $(V,\|\cdot\|_{V})$ be two real Banach spaces and let $\Phi$ be a continuous linear operator from $U$ onto $V$ . Put: $\alpha=\sup\,\{\,\inf\,\{\,\|u\|_{U}:u\in\Phi^{-1}(v)\}:v\in V,\,\|v\|_{V}\leq 1\}$ . Then, for every $v\in V$ and every lipschitzian operator $\Psi:U\rightarrow V$ , with Lipschitz constant $L$ such that $\alpha L<1$ , the set $\{u\in U:\Phi(u)+\Psi(u)=v\}$ is non-empty and arc wise connected.

In questa Nota viene stabilito un risultato sulla struttura dell'insieme dei punti fissi d'una contrazione multivoca, a valori convessi. Come conseguenza di tale risultato, si ottiene il seguente teorema: Siano $(U,\|\cdot\|_{U})$ , $(V,\|\cdot\|_{V})$ due spazi di Banach reali e $\Phi$ un operatore lineare e continuo definito in $U$ ed a valori su tutto $V$ . Si ponga: $\alpha=\sup\,\{\,\inf\,\{\,\|u\|_{U}:u\in\Phi^{-1}(v)\}:v\in V,\,\|v\|_{V}\leq 1\}$ . Allora, per ogni $v\in V$ ed ogni operatore lipschitziano $\Psi:U\rightarrow V$ , con costante di Lipschitz $L$ tale che $\alpha L<1$ , l'insieme $\{u\in U:\Phi(u)+\Psi(u)=v\}$ è non vuoto e connesso per archi.

Publié le : 1987-09-01

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Ricceri, Biagio. Une propriété topologique de l'ensemble des points fixes d'une contraction multivoque à valeurs convexes. Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti, Tome 81 (1987) pp. 283-286. http://gdmltest.u-ga.fr/item/RLINA_1987_8_81_3_283_0/

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