Projective invariant metrics and open convex regular cones. I

Podestà, Fabio

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti, Tome 81 (1987), p. 125-137 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Abstract

In this work we give a characterization of the projective invariant pseudometric $P$, introduced by H. Wu, for a particular class of real $\mathbf{C}^{\infty}$-manifolds; in view of this result, we study the group of projective transformations for the same class of manifolds and we determine the integrated pseudodistance $p$ of $P$ in open convex regular cones of $\mathbb{R}^{n}$, endowed with the characteristic metric.

Résumé

In questo lavoro, suddiviso in una Nota I ed in una nota II, si fornisce una caratterizzazione della pseudometrica proiettiva $P$, introdotta da H. Wu, per varietà con connessione lineare il cui tensore di Ricci è parallelo e semidefìnito negativo. Come applicazione si studiano le trasformazioni proiettive di tali varietà e la pseudodistanza $p$, associata a $P$, nei coni aperti, convessi, omogenei di $\mathbb{R}^{n}$. Si stabilisce infine un teorema di struttura per il gruppo delle trasformazioni affini dei coni.

Détail

Publié le : 1987-06-01

MR 0999427 | Zbl 0697.53045

Bibliographie

[1] Bortolotti, E. (1941) - Spazi a Connessione Proiettiva. Ed. Cremonese, Roma

[2] Eisenhart, L.P. (1927) - Non-Riemannian Geometry, «Amer. Math. Soc. Colloquium», Publ., Vol. VIII. | JFM 52.0721.02 | MR 1466961

[3] Franzoni, T. and Vesentini, E. (1980) - Holomorphic maps and invariant distances. North Holland, Amsterdam. | MR 563329 | Zbl 0447.46040

[4] Gentili, G. (1981) - Invariant Riemannian Geometry on Convex Cones. Tesi di Perfezionamento - Classe di Scienze - Scuola Normale Superiore, Pisa.

[5] Kobayashi, S. (1984) - Projective Structures of hyperbolic type, Banach Centre Publications, vol. 12, Warsaw, 127-152. | MR 961077 | Zbl 0558.53019

[6] Kobayashi, S. and Sasaki, (1979) - Projective Invariant Metrics for Einstein Space «Nagoya Math. Journal», 73, 171-174. | MR 524014 | Zbl 0413.53030

[7] Kobayashi, S. and Nomizu, K. (1963) - Foundations of Differential Geometry, vol. I, II, Interscience Publishers. | MR 152974 | Zbl 0119.37502

[8] Nagano, T. (1959) - The Projective Transformations on a Space with parallel Ricci Tensor, «Kodai Math. Sem. Reports», 11, 131-138. | MR 109330 | Zbl 0097.37503

[9] Rinow, W. (1961) - Die innere Geometrie der metrischen Räurne, Springer Verlag, Berlin. | MR 123969 | Zbl 0096.16302

[10] Rothaus, O. (1960) - Domains of Positivity. «Abh. Math. Sem.», 189, 189-225. | MR 121810 | Zbl 0096.27903

[11] Vinberg, E.B. (1963) - Theory of Convex Homogeneous Cones, «Trans. Moscow Math. Soc.», 12, 340. | MR 158414 | Zbl 0138.43301

[12] Wu, H. (1981) - Some Theorems on projectively Hyperbolicity, «J. Math. Soc. Japan», 33, 79-104. | MR 597482 | Zbl 0458.53016