Omogeneizzazione di funzionali debolmente quasi periodici

Braides, Andrea

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti, Tome 81 (1987), p. 29-33 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Résumé

Sia $f = f(x,z)$ quasiconvessa in $z$, quasiperiodica in $x$ nel senso di Besicovitch e soddisfi le disuguaglianze: $$|z|^{p} \le f(x,z) \le \Lambda (1+|z|^{p}).$$ Allora $f$ può essere omogeneizzata: esiste una funzione $\Psi$ che dipende solo da $z$ tale che i funzionali $$\int_{\Omega} f \left( \frac{x}{\epsilon},Du(x) \right) \, dx \qquad u \in H^{1,p} (\Omega;\mathbb{R}^{m})$$ convergono, per $\epsilon$ tendente a $0$ (nel senso della $\Gamma$-convergenza) a $$\int_{\Omega} \Psi (Du(x)) \, dx.$$ Inoltre si può dare una formula asintotica per $\Psi$.

Abstract

Let $f = f(x,z)$ be quasiconvex in $z$, almost periodic in $x$ in the weak sense of Besicovitch and satisfy the estimate $$|z|^{p} \le f(x,z) \le \Lambda (1+|z|^{p}).$$ Then $f$ can be homogenized; that is there exists a function $\Psi$ depending only on $z$ such that the functionals $$\int_{\Omega} f \left( \frac{x}{\epsilon},Du(x) \right) \, dx \qquad u \in H^{1,p} (\Omega;\mathbb{R}^{m})$$ converge, as $\epsilon$ goes to $0$ (in the sense of $\Gamma$-convergence) to $$\int_{\Omega} \Psi (Du(x)) \, dx.$$ Moreover an asymptotic formula for $\Psi$ can be given.

Détail

Publié le : 1987-03-01

MR 1000021 | Zbl 0713.49019

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