Rings whose finitely generated torsion modules in the sense of Dickson decompose into direct sums of cyclic submodules

Facchini, Alberto

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti, Tome 68 (1980), p. 13-21 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Résumé

Si studia la struttura dei moduli di torsione secondo Dickson sui $d$-anelli, ossia sugli anelli commutativi per i quali ogni modulo finitamente generato di torsione nel senso di Dickson si decompone in una somma diretta di sottomoduli ciclici. Si ottiene che un modulo di torsione secondo Dickson su un $d$-anello è una somma diretta di sottomoduli ognuno dei quali è canonicamente un modulo di torsione (nel senso usuale) su un dominio di valutazione discreta completo o su un anello locale Artiniano a ideali principali. Si estendono poi alcuni risultati già noti per altre teorie della torsione alla teoria della torsione di Dickson sui $d$-anelli. In particolare, denotato con $\mathcal{R}_{\mathcal{D}}$ l'anello dei quozienti di $\mathcal{R}$ rispetto alla topologia di Dickson $\mathcal{D}$, si studia sotto quali ipotesi il modulo $\mathcal{R}_{\mathcal{D}}/\mathcal{R}$ abbia anello degli endomorfismi commutativo e quando tale anello degli endomorfismi coincida con il completamento di Hausdorff di $\mathcal{R}$ nella topologia $\mathcal{D}$.

Détail

Publié le : 1980-01-01

Zbl 0469.13005

Bibliographie

[1] Asano, K. (1951) - Über kommutative Ringe in denen jedes Ideal als Produkt von Primeidealen darstellbar ist, «J. Math. Soc. Japan», 3, 82-90. | MR 43769 | Zbl 0044.02401

[2] Dickson, S.E. (1968) - Decomposition of modules. II. Rings without chain conditions, «Math. Z.», 104, 349-357. | MR 229678 | Zbl 0164.34703

[3] Facchini, A. (1979) - Reflexive rings, «Symposia Math.», XXIII, 415-449. | MR 565614

[4] Facchini, A. (1980) - On the ring of quotients of a Noetherian commutative ring with respect to the Dickson topology, «Rend. Sem. Mat. Univ. Padova», 62. | MR 582953 | Zbl 0441.13006

[5] Fine, N.J., Gillman, L. and Lambek, J. (1965) - Rings of quotients of rings of functions, McGill Univ. Press. | MR 200747 | Zbl 0143.35704

[6] Kaplansky, I. (1952) - Modules over Dedekind rings and valuation rings, «Trans. Am. Math. Soc.», 72, 327-340. | MR 46349 | Zbl 0046.25701

[7] Matlis, E. (1968) - Reflexive domains, «J. Algebra», 8, 1-33. | MR 220713

[8] Matlis, E. (1970) - 1-Dimensional Cohen-Macaulay Rings, «Lecture Notes in Math.», 327, Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-New York. | MR 357391

[9] Menini, C., Orsatti, A. (1979) - Duality over a quasi-injective module and commutative $\mathcal{F}$-reflexive rings, «Symposia Math.», XXIII, 145-179. | MR 565604 | Zbl 0429.13004

[10] Sharpe, D.W. and Vamos, P. (1972) - Injective modules, Cambridge Univ. Press. | MR 360706 | Zbl 0245.13001

[11] Shores, T.S. (1971) - Decompositions of finitely generated modules, «Proc. Am. Math. Soc.», 30, 445-450. | MR 281708 | Zbl 0203.05002

[12] Shores, T.S. (1972) - The structure of Loewy modules, «J. reine und angew. Math.», 254, 204-220. | MR 318231 | Zbl 0235.16024

[13] Shores, T.S. (1976) - A topological criterion for primary decomposition, «Acta Math. Ac. Sc. Hungaricae», 28, 383-387. | MR 429863 | Zbl 0337.13002

[14] Shores, T.S. and Lewis, W.J. (1974) - Serial modules and endomorphism rings, «Duke Math. J.», 41, 889-909. | MR 352079 | Zbl 0294.13007

[15] Stenström, B. (1970) - On the completion of modules in an additive topology, «J. Algebra», 16, 523-540. | MR 271145 | Zbl 0206.32703

[16] Stenström, B. (1975) - Rings of Quotients, Springer-Verlag. | MR 389953