On bounded and total biorthogonal systems spanning given subspaces

Terenzi, Paolo

Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti, Tome 66 (1979), p. 168-178 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Résumé

Siano $Y$ e $Z$ due sottospazi quasi complementari di uno spazio di Banach separabile $B$. È noto (Vinokurov) che $B$ ha una $M$-base unione di una $M$-base di $Y$ e di una $M$-base di $Z$; inoltre è noto (Milman) che, se $\{y_{n}\}$ è una $M$-base di $Y$, esiste una successione $\{z_{n}\}$ di $Z$ tale che $\{y_{n}\} \cup \{z_{n}\}$ sia una $M$-base di $B$. Recentemente Ovsepian-Pelczynski, dando una risposta affermativa ad un problema da lungo tempo irrisolto, hanno dimostrato che $B$ ha sempre una $M$-base uniformemente minimale. Tale risultato pone allora la questione se sia possibile estendere alle $M$-basi uniformemente minimali il Teorema di Vinokurov e quello di Milman. Si dimostra, nel presente lavoro, che tale estensione non è possibile; anzi, se $\{y_{n}\}$ è una successione completa in $Y$, si dimostra che in generale non esiste una successione infinita $\{z_{n}\}$ di $Z$, tale che $\{y_{n}\} \cup \{z_{n}\}$ sia uniformemente minimale, anche nel caso di $\{y_{n}\}$ basica.

Détail

Publié le : 1979-09-01

Zbl 0493.46012

Bibliographie

[1] Foias, C. and Singer, I. (1961) - Some remarks on strongly linearly independent sequences and bases in Banach spaces, «Rev. Math, pures et appl.», 61, 589-594.

[2] Grinblium, M.M. (1945) - Biorthogonal systems in Banach spaces, «Doklady Akad. Nauk SSSR», 47, 75-78.

[3] Markuschevich, A. (1943) - Sur les bases (au sens large) dans les espaces linéaires, «Doklady Akad. Nauk SSSR», 41, 227-229. | Zbl 0061.24701

[4] Milman, V.D. (1970) - Geometric Theory of Banach Spaces. Part I. «Russian Mathematical Surveys», 25, 111-170.

[5] Ovsepian, R.I. and Pelczynski, A. (1975) - On the existence of a fundamental total and bounded biorthogonal sequence in every separable Banach space, and related constructions of uniformly bounded orthonormal systems in $L^{2}$, «St. Math.», 54, 149-159. | Zbl 0317.46019

[6] Pelczynski, A. (1976) - All separable Banach spaces admitfor every $\epsilon > 0$ fundamental total and bounded by $1 + \epsilon$ biorthogonal sequences, «St. Math.», 55, 295-304. | Zbl 0336.46023

[7] Singer, I. (1964) - Baze in spatii Banach II, «Studii si Cercetari Matematice», 15, 157-208.

[8] Singer, I. (1970) - Bases in Banach Spaces I. Springer-Verlag.

[9] Singer, I. (1971) - On Biorthogonal Systems and Total Sequences of Functionals, «Math. Ann.», 193, 183-188. | Zbl 0207.43004

[10] Terenzi, P. (1977) - Properties of structure and completeness, in a Banach Space, of the sequences without an infinite minimal subsequence, «Istituto Lombardo (Rend. Sc.)», 112, 47-66.

[11] Terenzi, P. (1978) - Biorthogonal systems in Banach spaces, «Riv. Mat. Univ. Parma» (4) 4, 165-204. | Zbl 0419.46016

[12] Vinokurov, V.S. (1952) - On biorthogonal systems spanning given subspaces, «Dokl. Akad. Nauk SSSR », 685-689.