Numeri colorati e Ultimo Teorema di Fermat

Cocozza, Maria ; Russo, Alessio

La Matematica nella Società e nella Cultura. Rivista dell'Unione Matematica Italiana, Tome 4 (2011), p. 171-179 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Résumé

Nel 1916 Issai Schur provò che se si colora l'insieme $\mathbb{N}$ con un numero finito di colori, allora esistono dei numeri $x$, $y$ e $z$ aventi lo stesso colore tali che $x + y = z$. Egli utilizzò tale risultato nello studio della cosiddetta ``versione locale'' dell'Ultimo Teorema di Fermat dimostrando che se $n$ è un numero intero positivo, allora esiste un primo $p$ ``sufficientemente grande'' tale che l'equazione congruenziale $x^{n} + y^{n} = z^{n} \pmod p$ ha una soluzione intera non banale. In quest'articolo si fornirà un'esposizione elementare dei risultati precedenti. A tale scopo, si studieranno le condizioni affinché un grafo completo con i lati colorati possegga un triangolo monocromatico.

Abstract

In 1916 Issai Schur proved that if the set $\mathbb{N}$ is finitely colored, there exist $x$, $y$ and $z$ having the same color such that $x + y = z$. He used this result for the study of the so-called ``local version'' of the the Fermat's Last Theorem showing that for every positive integer $n$ and a sufficiently large prime $p$, the congruence $x^{n} + y^{n} = z^{n} \pmod p$ has a non-trivial solution in integers modulo $p$. In this article an elementary presentation of the above results will be given. To this purpose, the conditions for which a complete graph with colored edges contains a monocromatic triangle will be investigated.

Détail

Publié le : 2011-08-01

MR 2896006 | Zbl 1323.11016

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