Long time behavior of certain Vlasov equations : mathematics and numerics

Horsin, Romain

HAL, NNT: 2017REN1S062 / Harvested from HAL

Résumé

Cette thèse porte sur le comportement en temps long de solutions d’équations de type Vlasov, principalement le modèle Vlasov-HMF. On s’intéresse en particulier au phénomène d’amortissement Landau, prouvé mathématiquement dans divers cadres, pour plusieurs équations de type Vlasov, comme l’équation de Vlasov-Poisson ou le modèle Vlasov-HMF, et présentant certaines analogies avec le phénomène d’amortissement non visqueux pour l’équation d’Euler 2D. Les résultats qui y sont décrits sont les suivants. Le premier est un théorème d’amortissement Landau pour des solutions numériques du modèle Vlasov-HMF, obtenues par discrétisation en temps de ce dernier via des méthodes de splitting. Nous prouvons en outre la convergence des schémas numériques. Le second est un théorème d’amortissment Landau pour des solutions du modéle Vlasov-HMF linéarisé autour d’états stationnaires inhomogènes. Ce théorème est accompagné de nombreuses simulations numériques destinées à étudier numériquement le cas non-linéaire, et semblant mettre en lumière de nouveaux phénomènes. Enfin, le dernier résultat porte sur la discrétisation en temps de l’équation d’Euler 2D par un intégrateur de Crouch-Grossman symplectique. Nous prouvons la convergence du schéma.

Détail

Publié le : 2017-12-01
Classification:  Angle-action variables,  Hamiltonian systems,  Backward error analysis,  Crouch-Grossman integrator,  Symplectic integrator,  Semi-Lagrangian methods,  Splitting methods,  Stationary state,  Landau damping,  Transport equations,  Euler equations,  Vlasov equations,  Équations d’Euler,  Équations de type Vlasov,  Amortissement Landau,  Équations de transport,  État stationnaire,  Méthodes de splitting,  Méthodes semi-Lagrangiennes,  Intégrateur symplectique,  Intégrateur de Crouch-Grossman,  Coordonnées action-angle,  Systèmes hamiltoniens,  Analyse d’erreur rétrograde,  [MATH.MATH-AP]Mathematics [math]/Analysis of PDEs [math.AP]