Nous étudions l'effet d'une couche mince rugueuse périodique déposée sur une structure semi-infinie, dans le contexte Helmholtz bi-dimensionnel. Formellement, nous obtenons des conditions de transmission équivalentes à l'ordre 1, par des techniques de type homogénéisation. Suivent alors la résolution du problème du milieu effectif éclairé par une onde plane, et le calcul de la fonction de Green effective ; le tout par analyse de Fourier. Dans un deuxième temps, nous considérons le problème de diffraction par un objet pénétrable enfoui dans la structure recouverte par la couche rugueuse. Nous le résolvons par la méthode des éléments finis de frontière, dans le milieu effectif. Des résultats numériques sont présentés. Enfin, le modèle effectif est validé dans le cas d'une couche plate, et l'approximation de Born est utilisée pour tester le code des équations intégrales.
@article{M2AN_2013__47_5_1367_0,
author = {Bellet, Jean-Baptiste and Berginc, G\'erard},
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doi = {10.1051/m2an/2013073},
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Bellet, Jean-Baptiste; Berginc, Gérard. Modèle effectif de couche mince rugueuse périodique sur une structure semi-infinie. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis - Modélisation Mathématique et Analyse Numérique, Tome 47 (2013) pp. 1367-1386. doi : 10.1051/m2an/2013073. http://gdmltest.u-ga.fr/item/M2AN_2013__47_5_1367_0/
[1] and , Diffraction at a curved grating: Tm and te cases, homogenization. J. Math. Anal. Appl. 202 (1996) 995-1026. | MR 1408364 | Zbl 0865.35122
[2] and , Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications (1965).
[3] , An Introduction to Mathematics of Emerging Biomedical Imaging. Springer (2008). | MR 2440857 | Zbl 1181.92052
[4] , and , A music algorithm for locating small inclusions buried in a half-space from the scattering amplitude at a fixed frequency. Multiscale Model. Simul. 3 (2005) 597-628. | MR 2136165 | Zbl 1075.35101
[5] and . Reconstruction of small inhomogeneities from boundary measurements. Springer Verlag (2004). | MR 2168949 | Zbl 1113.35148
[6] and , On radiation conditions for rough surface scattering problems. IMA J. Appl. Math. 70 (2005) 839-847. | MR 2184288 | Zbl 1100.35101
[7] , and , Adaptive finite-element method for diffraction gratings. JOSA A 22 (2005) 1106-1114. | MR 2188104
[8] , and , Mathematical studies in rigorous grating theory. JOSA A 12 (1995) 1029-1042. | MR 1335399
[9] , Identification par imagerie laser d'un objet dissimulé - Aspects mathématiques et numériques. Ph.D. thesis, École Polytechnique, Palaiseau (2011).
[10] , and , Scattering by infinite one-dimensional rough surfaces. Proc. Royal Soc. London. Ser. A : Math. Phys. Engrg. Sci. 455 (1999) 3767-3787. | MR 1811316 | Zbl 0963.78014
[11] , Waves and fields in inhomogenous media. IEEE Press (1999). | Zbl 0925.78002
[12] , and , Approximate transmission conditions through a rough thin layer. The case of the periodic roughness. Eur. J. Appl. Math. (2009). | MR 2578122 | Zbl 1184.35031
[13] , , and , Theoretical and computational aspects of scattering from periodic surfaces : one-dimensional transmission interface. Waves Random Media 11 (2001) 425-453. | MR 1874194 | Zbl 1020.78004
[14] , and , Computing numerically the greens function of the half-plane helmholtz operator with impedance boundary conditions. Numer. Math. 107 (2007) 295-314. | MR 2328848 | Zbl 1124.65113
[15] , and , The helmholtz equation in a locally perturbed half-space with non-absorbing boundary. Arch. Ration. Mech. Anal. 191 (2009) 143-172. | MR 2457068 | Zbl 1156.35015
[16] and , Analysis and applications of optical diffraction by gratings. IEEE 73 (1985) 894-937.
[17] , The Method of Moments in Electromagnetics. Chapman and Hall/CRC (2008). | MR 2503144 | Zbl 1294.78001
[18] , Green's functions and integral equations for the Laplace and Helmholtz operators in impedance half-spaces. Ph.D. thesis, École Polytechnique, Palaiseau (2010).
[19] and , Asymptotics for Helmholtz and Maxwell solutions in 3-D open waveguides. Technical report, ETH, Zürich (2010).
[20] , , and , Rigorous and efficient grating-analysis method made easy for optical engineers. Appl. Optics 38 (1999) 304-313.
[21] , Acoustic and Electromagnetic Equations. Springer (2001). | MR 1822275 | Zbl 0981.35002
[22] and , Grating theory: new equations in fourier space leading to fast converging results for tm polarization. JOSA A 17 (2000) 1773-1784.
[23] , Diffusion des ondes électromagnétiques par des milieux et des surfaces aléatoires : étude des effets cohérents dans le champ diffusé. Ph.D. thesis, Université de la Méditerranée - Aix-Marseille II (2001).
[24] and , Analyzing diffraction gratings by a boundary integral equation neumann-to-dirichlet map method. JOSA A 26 (2009) 2444-2451. | MR 2589396