Multicomponent flow in a porous medium. Adsorption and Soret effect phenomena : local study and upscaling process
Blancher, Serge ; Creff, René ; Gagneux, Gérard ; Lacabanne, Bruno ; Montel, François ; Trujillo, David
ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis - Modélisation Mathématique et Analyse Numérique, Tome 35 (2001), p. 481-512 / Harvested from Numdam
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On étudie un système d'équations paraboliques non linéaires modélisant l'évolution des fractions massiques d'un fluide multiconstituant dans un écoulement convectif forcé sous l'influence d'un gradient thermique. Des résultats d'existence et d'unicité sont donnés sous des hypothèses relatives aux fonctions d'état des équations. On propose ensuite une méthode numérique de type «éléments finis mixtes» aboutissant à un schéma «volumes finis» dont on effectue l'analyse et la présentation des premiers résultats. Nous appliquons enfin une technique d'homogénéisation aux équations étudiées dans le but d'obtenir une modélisation macroscopique fidèle des phénomènes d'adsorption et d'effet Soret en milieu poreux.

Our aim here is to study the thermal diffusion phenomenon in a forced convective flow. A system of nonlinear parabolic equations governs the evolution of the mass fractions in multicomponent mixtures. Some existence and uniqueness results are given under suitable conditions on state functions. Then, we present a numerical scheme based on a “mixed finite element” method adapted to a finite volume scheme, of which we give numerical analysis. In a last part, we apply an homogenization technique to the studied equations in order to obtain an efficient modelling of Soret effect and adsorption in a porous medium at a macroscopic scale.

Publié le : 2001-01-01
Classification:  35K55,  35K60,  65N30 
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Blancher, Serge; Creff, René; Gagneux, Gérard; Lacabanne, Bruno; Montel, François; Trujillo, David. Multicomponent flow in a porous medium. Adsorption and Soret effect phenomena : local study and upscaling process. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis - Modélisation Mathématique et Analyse Numérique, Tome 35 (2001) pp. 481-512. http://gdmltest.u-ga.fr/item/M2AN_2001__35_3_481_0/

[1] G. Allaire, Homogenization and two-scale convergence. SIAM J. Math. Anal. 23 (1992) 1482-1518. | Zbl 0770.35005

[2] G. Allaire, Homogénéisation des équations de Stokes et de Navier-Stokes. Thèse de doctorat de l'Université Paris VI (1989).

[3] G. Allaire, A. Damlamian and U. Hornung, Two-scale convergence on periodic surfaces and applications, in Proceedings of the International Conference on Mathematical of Flow through Porous Media, A. bourgeat et al. Eds., World scientific Pub., Singapore (1995). | Zbl 0822.35011

[4] S.N. Antontsev and A.V. Domansky, Uniqueness generalizated solutions of degenerate problem two phase filtration. Numerical methods mechanics in continuum medium, Collection Sciences Research, Sbornik 15 (1984) 15-28 (in Russian). | Zbl 0585.76143

[5] S.N. Antontsev, A.M. Meirmanov and V.V. Yurinsky, Homogenization of Stokes-Type equations with variable viscosity. Siberian Adv. Math. 8 Allerton Press, New York (1998). | MR 1650518 | Zbl 0920.35106

[6] P. Bia and M. Combarnous, Les méthodes thermiques de production des hydrocarbures. Chap. 1: Transfert de chaleur et de masse. Revue de l'Institut Français du Pétrole, mai-juin (1975) 359-395.

[7] H. Brezis, Analyse fonctionnelle, théorie et applications. Masson, Paris (1983). | MR 697382 | Zbl 0511.46001

[8] R. Dautray and J.L. Lions, Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et les techniques. 9 Vols., Masson, Paris (1985). | Zbl 0708.35001

[9] J.I. Díaz, Two problems in homogenization of porous media. Preprint, Université Complutense de Madrid, MA-UCM 1999-25, (1999). | Zbl 0942.35021

[10] J.I. Díaz and G. Galiano, Existence and uniqueness of solutions of the Boussinesq system with nonlinear thermal diffusion. Topological Methods in Nonlinear Analysis, Journal of the Juliusz Schauder Center 11 (1998) 59-82. | Zbl 0916.35087

[11] J.I. Díaz, G. Galiano and A. Jungel, On a quasilinear degenerated system arising in semiconductors theory. Part I: existence and uniqueness of solutions. Centrum voor Wiskunde en Informatica, Modelling, Analysis and Simulation. Report MAS-R9723, (1997).

[12] G. Duvaut and J.L. Lions, Les inéquations en mécanique et en physique, Dunod, Paris (1972). | MR 464857 | Zbl 0298.73001

[13] G. Gagneux, Sur l'analyse de modèles de la filtration diphasique en milieu poreux, in Equations aux dérivées partielles et applications. Articles dédiés à J.L. Lions. Gauthier-Villars, Paris (1998) 527-540. | Zbl 0914.35067

[14] G. Gagneux and M. Madaune-Tort, Analyse mathématique de modèles non linéaires de l'ingénierie pétrolière. Collection Mathématiques et Applications, Springer-Verlag, Heidelberg 22 (1996). | Zbl 0842.35126

[15] U. Hornung, Homogenization and porous media. Interdisciplinary Appl. Math., No. 6, Springer, New York (1997). | MR 1434315 | Zbl 0872.35002

[16] U. Hornung and W. Jäger, Diffusion, convection, adsorption, and reaction of chemicals in porous media. J. Differential Equations 92 (1991) 199-225. | Zbl 0731.76080

[17] F. James, M. Sepulveda and P. Valentin, Modèle de thermodynamique statistique pour un isotherme d'équilibre diphasique multicomposant. Rapport de recherche du centre de mathématiques appliquées de l'École Polytechnique No. 223 (1990).

[18] J.L. Lions, Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles. Dunod, Paris (1968). | MR 244606 | Zbl 0179.41801

[19] J.L. Lions and E. Magenes, Problèmes aux limites non homogènes et applications. Vol. 1, Dunod, Paris (1968). | MR 247243 | Zbl 0165.10801

[20] F. Montel, Importance de la thermodiffusion en exploration et production pétrolières. Entropie No. 184/185 (1994) 86-93.

[21] R.A. Nicolaïdes, Existence, uniqueness and approximation for generalized saddle point problems. SIAM J. Numer. Anal. 19 (1982) 349-357. | Zbl 0485.65049

[22] P.-A. Raviart and J.-M. Thomas, A mixed finite element method for second order elliptic problems, in Mathematical aspects of the finite element method, Lect. Notes Math. 606, Springer, Berlin (1977) 292-315. | Zbl 0362.65089

[23] J.E. Roberts and J.-M. Thomas, Mixed and hybrid methods. Handbook of numerical analysis, finite element methods, Vol. II, finite element methods (Part. 1), Ciarlet P-G., Lions J-L. Eds. North Holland, Amsterdam (1991) 523-639 . | Zbl 0875.65090

[24] E. Sanchez-Palencia, Non-homogeneous media and vibration theory. Springer-Verlag, Berlin (1980). | MR 578345 | Zbl 0432.70002

[25] D. Serre, Systèmes de lois de conservation. Tome 1, Fondations. Diderot Éditeur, Arts et Sciences, Paris (1996) 66-68.

[26] J-M. Thomas and D. Trujillo, Mixed finite volume methods, Intermat. J. Numer. Methods Engrg. 46 (1999) 1351-1366. | Zbl 0948.65125