Lifting the field of norms

[Relèvement du corps des normes]

Berger, Laurent

Journal de l'École polytechnique - Mathématiques, Tome 1 (2014), p. 29-38 / Harvested from Numdam

Résumé

Soit $K$ une extension finie de $\mathbf{Q}_p$. Le corps des normes d’une extension de Lie $p$-adique $K_\infty /K$ est un corps local de caractéristique $p$ muni d’une action de $\mathrm{Gal}(K_\infty /K)$. Quand peut-on relever cette action en caractéristique nulle, en même temps qu’une application de Frobenius compatible ? Dans cette note, nous formulons de manière précise cette question, expliquons son intérêt pour la théorie des $(\varphi ,\Gamma )$-modules et donnons une condition pour l’existence de certains types de relèvements.

Abstract

Let $K$ be a finite extension of $\mathbf{Q}_p$. The field of norms of a $p$-adic Lie extension $K_\infty /K$ is a local field of characteristic $p$ which comes equipped with an action of $\mathrm{Gal}(K_\infty /K)$. When can we lift this action to characteristic $0$, along with a compatible Frobenius map? In this note, we formulate precisely this question, explain its relevance to the theory of $(\varphi ,\Gamma )$-modules, and give a condition for the existence of certain types of lifts.

Détail

Publié le : 2014-01-01
DOI : https://doi.org/10.5802/jep.2
Classification:  11S15,  11S20,  11S25,  11S31,  11S82,  13F25
Mots clés: Corps des normes, $(\phi ,\Gamma )$-module, représentation $p$-adique, extension anticyclotomique, anneau de Cohen, système dynamique non archimédien

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