Parois et vortex en micromagnétisme
Rivière, Tristan
Journées équations aux dérivées partielles, (2002), p. 1-15 / Harvested from Numdam
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Nous présenterons l’énergie libre modélisant les états (polarisations) des matériaux ferromagnétiques. Le problème variationnel associé contient de nombreux régimes asymptotiques dans lesquels «on voit» se former des défauts du type vortex, du type paroi (Bloch et Neel Walls) ou du type mixte paroi-vortex (Cross-Tie Walls). Le but de cet exposé est de présenter les travaux qui s’efforcent de donner une justification mathématique à la création de ces singularités. Nous décrirons l’insuffisance des méthodes classiques de l’analyse fonctionnelle linéaire à rendre compte de ces phénomènes de perte de régularité et introduirons une approche mettant en oeuvre des outils de la théorie de la mesure géométrique appliqués à l’analyse des équations aux dérivées partielles. L’analyse des défauts en micromagnétisme a suscité des questions théoriques sur les lois de conservation scalaires non-linéaires. Nous présenterons à cette occasion un résultat récent généralisant le phénomène de régularisation de Lax-Oleinick pour les lois scalaire à non-linéarité strictement convexe ∂u ∂t+∂f(u) ∂x=0 (0$">f">0), au cas où la distribution entropique de sauts n’est pas forcément de signe uniforme mais est une mesure signée quelconque : pour tout S dans C 2 , ∂S(u) ∂t+∂Φ(u) ∂x est une mesure de Radon ((S,Φ) paire entropie flux : Φ ' =S ' f ' ). Nous démontrons alors que dans ce cas, en dimension 1+1, pour une donnée initiale mesurable et bornée quelconque, les ondes de chocs sont contenues dans une union au plus dénombrable de courbes C 1 .

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Rivière, Tristan. Parois et vortex en micromagnétisme. Journées équations aux dérivées partielles,  (2002), pp. 1-15. doi : 10.5802/jedp.612. http://gdmltest.u-ga.fr/item/JEDP_2002____A14_0/

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