We study the relations between pin structures on a non-orientable even-dimensional manifold, with or without boundary, and pin structures on its orientable double cover, requiring the latter to be invariant under sheet-exchange. We show that there is not a simple bijection, but that the natural map induced by pull-back is neither injective nor surjective: we thus find the conditions to recover a full correspondence. We then consider the example of surfaces, with detailed computations for the real projective plane, the Klein bottle and the Moebius strip.
In questo articolo studiamo le relazioni tra le strutture di pin su una varietaà non orientabile di dimensione pari, con o senza bordo, e, dall'altro lato, le strutture di pin sul doppio ricoprimento orientabile, invarianti per lo scambio di foglie. Mostriamo che non c'è una semplice bigezione, come ci si potrebbe attendere, ma che la mappa naturale indotta dal pull-back non è né suriettiva né iniettiva: troviamo quindi le condizioni per recuperare una piena corrispondenza. Consideriamo poi l'esempio delle superfici, con calcoli dettagliati per il piano proiettivo reale, la bottiglia di Klein e il nastro di Moebius.
@article{BUMI_2012_9_5_2_405_0,
author = {Loriano Bonora and Fabio Ferrari Ruffino and Raffaele Savelli},
title = {Revisiting Pinors and Orientability},
journal = {Bollettino dell'Unione Matematica Italiana},
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Bonora, Loriano; Ferrari Ruffino, Fabio; Savelli, Raffaele. Revisiting Pinors and Orientability. Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 5 (2012) pp. 405-422. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BUMI_2012_9_5_2_405_0/
[1] - , Pin structures on manifolds quotiented by discrete groups, J. Geom. Phys., 6 (1989), 143-157. | MR 1027301 | Zbl 0681.53018
[2] - , Elliptic boundary problems for Dirac operators, Birkhäuser (1993). | MR 1233386 | Zbl 0836.58041
[3] - , Diffeomorphisms, orientation, and pin structures in two dimensions, J. Math. Phys., 29 (1988), 580. | MR 931460 | Zbl 0666.58010
[4] - , Spinors and diffeomorphisms, Comm. Math. Phys., 106 (1986), 691-704. | MR 860317
[5] - , Spinor structures on spheres and projective spaces, J. Math. Phys., 27 (1986), 2022. | MR 850585 | Zbl 0599.53030
[6] , Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002. | MR 1867354
[7] , Algèbres de Clifford and K-théorie, Ann. Sci. Éc. Norm. Sup. 4ème sér. 1 (1968), 161-270. | MR 238927
[8] - , Pin Structures on Low-Dimensional Manifolds, in Geometry of Low-Dimensonal Manifolds: 2 by and , Cambridge University Press. | MR 1171915
[9] - , Characteristic Classes, Princeton University Press, 1974. | MR 440554
[10] - , Spin structures for riemann surfaces with boundaries and cross-caps, Phys. Lett. B, 217 (1989), 85. | MR 977915