On a recursive formula for the sequence of primes and applications to the twin prime problem

Fiorito, Giovanni

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 9-A (2006), p. 667-680 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Access to full text
Full (PDF)
Full (DjVu)

Abstract
Résumé

In this paper we give a recursive formula for the sequence of primes $\{p_{n}\}$ and apply it to find a necessary and sufficient condition in order that a prime number $p_{n+1}$ is equal to $p_{n}+2$ . Applications of previous results are given to evaluate the probability that $p_{n+1}$ is of the form $p_{n}+2$ ; moreover we prove that the limit of this probability is equal to zero as $n$ goes to $\infty$ . Finally, for every prime $p_{n}$ we construct a sequence whose terms that are in the interval $[p_{n}^{2}-2,p_{n+1}^{2}-2[$ are the first terms of two twin primes. This result and some of its implications make furthermore plausible that the set of twin primes is infinite.

In questo lavoro presentiamo una formula ricorrente per la successione dei numeri primi $\{p_{n}\}$ , che utilizziamo per trovare una condizione necessaria e sufficiente affinché un numero primo $p_{n+1}$ sia uguale a $p_{n}+2$ . Il precedente risultato viene utilizzato per calcolare la probabilità che $p_{n+1}$ sia uguale a $p_{n}+2$ . Inoltre proviamo che il limite per $n$ tendente all’infinito della suddetta probabilità è zero. Infine, per ogni numero primo $p_{n}$ costruiamo una successione i cui termini che appartengono all’intervallo $[p_{n}^{2}-2,p_{n+1}^{2}-2[$ sono i primi termini di due numeri primi gemelli. Questo risultato e alcune sue implicazioni rendono ulteriormente plausibile che l’insieme dei numeri primi gemelli sia infinito.

Publié le : 2006-10-01

MR 2274119 | Zbl 1117.11009

@article{BUMI_2006_8_9B_3_667_0,
     author = {Giovanni Fiorito},
     title = {On a recursive formula for the sequence of primes and applications to the twin prime problem},
     journal = {Bollettino dell'Unione Matematica Italiana},
     volume = {9-A},
     year = {2006},
     pages = {667-680},
     zbl = {1117.11009},
     mrnumber = {2274119},
     language = {en},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/BUMI_2006_8_9B_3_667_0}
}

Fiorito, Giovanni. On a recursive formula for the sequence of primes and applications to the twin prime problem. Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 9-A (2006) pp. 667-680. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BUMI_2006_8_9B_3_667_0/

Bibliographie

[1] Crandall, R. - Pomerance, C., Prime Numbers A Computational Perspective, Springer-Verlag New York (2001). | Zbl 0995.11072

[2] Fiorito, G., On Properties of Periodically Monotone Sequences, Applied Mathematics and Computation, 72 (1995), 259-275. | Zbl 0838.40002

[3] Guy, R. K., Unsolved problems in Number Theory, Springer-VerlagNew York (1994). | Zbl 0805.11001

[4] Hardy, G. - Wright, E., An Introduction to the Theory of Numbers, Clarendon Press Oxford (1954). | Zbl 0058.03301

[5] Ireland, K. - Rosen, M., A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer-Verlag New York (1981). | Zbl 0712.11001

[6] Murty, M. R., Problems in Analytic Number Theory, Springer-Verlag (1999). | Zbl 0911.11001

[7] Nathanson, M. B., Elementary Methods in Number Theory, Springer-Verlag (1999).