On the projective genus of surfaces

Sabatino, Pietro

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 9-A (2006), p. 311-317 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Abstract

Let $X \subset \mathbb{P}^N$ be a smooth irreducible non degenerate surface over the complex numbers, $N \geq 4$. We define the projective genus of $X$, denoted by $PG(X)$, as the geometric genus of the singular curve of the projection of $X$ from a general linear subspace of codimension four. Denote by $g(X)$ the sectional genus of $X$. In this paper we conjecture that the only surfaces for which $PG(X) = g(X) - 1$ are the del Pezzo surface in $\mathbb{P}^4$, in $\mathbb{P}^5$ and a conic bundle of degree 5 in $\mathbb{P}^4$. We prove that for $N \geq 5$ if $PG(X) = g(X) - 1 + \lambda$, $\lambda$ a non negative integer, then $g(X) \leq \lambda + 1 + \alpha$ where $\alpha = -2$ for a scroll and $\alpha = 0$ otherwise, and deduce the conjecture for $N \geq 5$ from this statement.

Résumé

– Sia $X \subset \mathbb{P}^N$ una superficie complessa liscia irriducibile e non degenere, $N \geq 4$. Definiamo genere proiettivo di $X$, denotato con $PG(X)$, come il genere geometrico della curva singolare della proiezione di $X$ da un sottospazio lineare generico di codimensione quattro. Si denoti con $g(X)$ il genere sezionale di $X$. Nel presente lavoro congetturiamo che le uniche superfici per cui $PG(X) = g(X) - 1$ sono la superfice di del Pezzo in $\mathbb{P}^4$, in $\mathbb{P}^5$ e una fibrazione in coniche di grado 5 in $\mathbb{P}^4$. Dimostriamo che per $N \geq 5$ se $PG(X) = g(X) - 1 + \lambda$, $\lambda$ un intero non negativo, allora $g(X) \leq \lambda + 1 + \alpha$ dove $\alpha = -2$ per uno scroll e $\alpha = 0$ altrimenti, e deduciamo la congettura per $N \geq 5$ da questo enunciato.

Détail

Publié le : 2006-06-01

MR 2233140 | Zbl 1178.14037

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