In this paper we prove the following results. Let π be a set of prime numbers and G a finite π-soluble group. Consider U, V ≤ G and $H\in \mathrm{Hall}_{\pi}(G)$ such that $H\cap V \in \mathrm{Hall}_{\pi}(V)$ and $1\neq H\cap U\in \mathrm{Hall}_{\pi}(U)$. Suppose also $H \cap U$ is a Hall π-sub-group of some S-permutable subgroup of G. Then $H\cap U \cap V\in \mathrm{Hall}_{\pi}(U\cap V)$ and $\langle H\cap U, H\cap V \rangle\in \mathrm{Hall}_{\pi}(\langle U\cap V\rangle)$. Therefore,the set of all S-permutably embedded subgroups of a soluble group G into which a given Hall system Σ reduces is a sublattice of the lattice of all Σ-permutable subgroups of G. Moreover any two subgroups of this sublattice of coprimeorders permute.
In questo lavoro proviamo i seguenti risultati. Sia π un insieme di numeri primi e G un π-gruppo risolubile. Consideriamo U, V ≤ G e $H \in \mathrm{Hall}_{\pi}(G)$ tali che $H \cap V \in \mathrm{Hall}_{\pi}(V)$ e $1 \neq H \cap U \in \mathrm{Hall}_{\pi}(U)$. Supponiamo anche che $H \cap U$ sia un π- sottogruppo di Hall di un sottogruppo S-permutabile di G. Allora $H\cap U \cap V\in \mathrm{Hall}_{\pi}(U\cap V)$ e $\langle H\cap U, H\cap V \rangle\in \mathrm{Hall}_{\pi}(\langle U\cap V\rangle)$ . Oltre a ciò, l'insieme di tutti i sottogruppi S-permutabilmente immersi di un gruppo risolubile G in cui un dato sistema di Hall Σ si riduce è un sottoreticolo del reticolo di tutti i sottogruppi Σ-permutabili di G. Si verifica anche che due qualsiasi sottogruppi di questo reticolo di ordini primi fra loro permutano.
@article{BUMI_2005_8_8B_2_505_0,
author = {L. M. Ezquerro and M. G\'omez-Fern\'andez and X. Soler-Escriv\`a},
title = {On lattice properties of S-permutably embedded subgroups of finite soluble groups},
journal = {Bollettino dell'Unione Matematica Italiana},
volume = {8-A},
year = {2005},
pages = {505-517},
zbl = {1147.20017},
mrnumber = {2149397},
language = {en},
url = {http://dml.mathdoc.fr/item/BUMI_2005_8_8B_2_505_0}
}
Ezquerro, L. M.; Gómez-Fernández, M.; Soler-Escrivà, X. On lattice properties of S-permutably embedded subgroups of finite soluble groups. Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 8-A (2005) pp. 505-517. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BUMI_2005_8_8B_2_505_0/
[1] - , On S-quasinormally embedded subgroups of finite groups, J. Pure App. Algebra, 165, (2001), 129-135. | MR 1865961 | Zbl 1011.20019
[2] , Permutably embedded subgroups of finite soluble groups, Arch. Math., 65 (1995), 1-7. | MR 1336215 | Zbl 0823.20020
[3] - , Permutability in finite soluble groups, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 115 (1993), 393-396. | MR 1269927 | Zbl 0817.20016
[4] - , Sufficient conditions for supersolubility of finite groups, J. Pure App. Algebra, 127 (1998), 118-134. | MR 1620696 | Zbl 0928.20020
[5] - , On join properties of Hall π-subgroups of finite π-soluble groups, J. Algebra, 204 (1998), 532-548. | MR 1624479 | Zbl 0914.20021
[6] , On quasi normal subgroups of finite groups, Math.Z., 82 (1963), 125-132. | Zbl 0114.02004
[7] , Eine Bemerkung ber das Reduziern von Hallgruppen in endlichen auflsbaren Gruppen, Arch. Math., 60 (1993), 505-507. | MR 1216691 | Zbl 0791.20014
[8] - , Finite soluble groups, De Gruyter (Berlin, New York, 1992). | MR 1169099 | Zbl 0753.20001
[9] , Una caracterización de los subgrupos inmersos normalmente en grupos finitos resolubles, Actas XII Jor. Luso-Esp. Mat. Univ. Braga, 2 (1987), 68-71.
[10] - , Some permutability properties of -hypercentrally embedded subgroups of finite groups. Preprint (to appear in J. Algebra), 2002. | MR 1980698 | Zbl 1107.20018
[11] , An intersection property of Sylow p-subgroups affecting p-length in finite p-solvable groups, J. Algebra, 184 (1996), 251-254. | MR 1402580 | Zbl 0856.20014
[12] ,Sylow-Gruppen und Subnormalteiler endlicher Gruppen, Math. Z., 78 (1962), 205-221. | MR 147527 | Zbl 0102.26802
[13] , Subgroups permutable with all Sylow subgroups, J. Algebra, 207 (1998), 285-293. | MR 1643106 | Zbl 0910.20015
[14] , Prefrattini subgroups and cover-avoidance properties in -groups, Canad. J. Math., 27 (1975), 837-851. | MR 387411 | Zbl 0286.20037
[15] , Subnormale Untergruppen endlicher Gruppen, Mathematical Works, Vol. I, De Gruyter (Berlin, New York, 1994), 413-479.