Determinanti polinomiali-esponenziali

Marcovecchio, Raffaele

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 7-A (2004), p. 713-730 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Résumé

Dati $m=2$ o $m=3$ numeri algebrici non nulli $\alpha=(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m})$ tali che $\alpha_{j}/\alpha_{l}$ non è una radice dell'unità per ogni $j\neq l$ , consideriamo una classe di determinanti di Vandermonde generalizzati di ordine quattro $G(a; x)$, al variare di $x$ in $\mathbb{Z}^{4}$ , connessa con alcuni problemi diofantei. Dimostriamo che il numero delle soluzioni $y\in \mathbb{Z}^{3}$ in posizione generica dell'equazione polinomiale-esponenziale disomogenea $G(a; 0, y)=0$ non supera una costante esplicita $N(d)$ dipendente solo da $d=[\mathbb{Q}(\alpha_{1} , \ldots , \alpha_{m}) : \mathbb{Q}]$.

Abstract

Given $m=2$ or $m=3$ non-zero algebraic numbers $\alpha=(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m})$ such that $\alpha_{j}/\alpha_{l}$ is not a root of unity for any $j\neq l$ , we consider a class of generalized Vandermonde determinants of order four $G(a; x)$, as $x$ runs over $\mathbb{Z}^{4}$ , involved in some Diophantine problems. We derive an explicit upper bound $N(d)$ for the number of solutions $y\in \mathbb{Z}^{3}$ in general position of the inhomogeneous polynomial-exponential equation $G(a; 0, y)=0$, where the constant $N(d)$ depends only on $d=[\mathbb{Q}(\alpha_{1} , \ldots , \alpha_{m}) : \mathbb{Q}]$.

Détail

Publié le : 2004-10-01

MR 2101661 | Zbl 1181.11034

Bibliographie

[1] Amoroso, F., Upper bounds for the resultant and Diophantine applications, Number Theory (Eger, 1996), 23-36, de Gruyter, Berlin, 1998. | MR 1628830 | Zbl 0910.11029

[2] Evertse, J.-H.-Schlickewei, H. P.-Schmidt, W. M., Linear equations in variables which lie in a multiplicative group, Ann. of Math., 155 (2002), 807-836. | MR 1923966 | Zbl 1026.11038

[3] Méray, C., Sur un déterminant dont celui de Vandermonde n'est qu'un cas particulier, Revue de Mathematique Spéciales9 (1899), 217-219. | JFM 30.0158.01

[4] Schlickewei, H. P.-Schmidt, W. M., The number of solutions of polynomial-exponential equations, Compositio Math., 120 (2000), 193-225. | MR 1739179 | Zbl 0949.11020

[5] Schlickewei, H. P.-Viola, C., Polynomials that divide many trinomials, Acta Arith., 78 (1997), 267-273. | MR 1432021 | Zbl 0868.11048

[6] Schlickewei, H. P.-Viola, C., Polynomials that divide many $k$-nomials. Number theory in progress, Vol. 1 (Zakopane-Kościelisko, 1997), 445-450, de Gruyter, Berlin, 1999. | MR 1689523 | Zbl 0928.11016

[7] Schlickewei, H. P.-Viola, C., Generalized Vandermonde determinants, Acta Arith., 95 (2000), 123-137. | MR 1785411 | Zbl 0962.11021