Monotone operators in divergence form with $x$-dependent multivalued graphs

Francfort, Gilles; Murat, François; Tartar, Luc

Monotone operators in divergence form with

x

-dependent multivalued graphs

Francfort, Gilles ; Murat, François ; Tartar, Luc

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 7-A (2004), p. 23-59 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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Abstract
Résumé

We prove the existence of solutions to $- div a (x, grad u) = f$ , together with appropriate boundary conditions, whenever $a (x, e)$ is a maximal monotone graph in $e$ , for every fixed $x$ . We propose an adequate setting for this problem, in particular as far as measurability is concerned. It consists in looking at the graph after a $45^{\circ}$ rotation, for every fixed $x$ ; in other words, the graph $d \in a (x, e)$ is defined through $d - e = φ (x, d + e)$ , where $φ$ is a Carathéodory contraction in $R^{N}$ . This definition is shown to be equivalent to the fact that $a (x, \cdot)$ is pointwise monotone and that, for any $g \in {[L^{p^{'}} (Ω)]}^{N}$ and any $δ > 0$ , the equation $d + δ {|e|}^{p - 2} e = g$ has a solution $(e, d)$ with $d \in a (x, e)$ . Under additional coercivity and growth assumptions, the existence of solutions to $- div a (x, grad u) = f$ is then established.

Dimostriamo l'esistenza di soluzioni per l'equazione $- div a (x, grad u) = f$ con opportune condizioni al bordo, nel caso in cui $a (x, e)$ sia un grafico massimale monotono in $e$ per ogni $x$ fissato. Innanzitutto proponiamo un quadro adeguato per questo problema, in particolare per quel che concerne la misurabilità. Questo consiste nel considerare il grafico dopo una rotazione di $45^{\circ}$ per ogni $x$ fissato. In altre parole, il grafico $d \in a (x, e)$ è definito da $d - e = φ (x, d + e)$ , dove $φ$ è una contrazione di Carathéodory in $R^{N}$ . Mostriamo che questa definizione è equivalente al fatto che $a (x, \cdot)$ è puntualmente monotono e che, per ogni $g \in {[L^{p^{'}} (Ω)]}^{N}$ ed ogni $δ > 0$ , l'equazione $d + δ {|e|}^{p - 2} e = g$ ha una soluzione $(e, d)$ con $d \in a (x, e)$ . Si dimostra poi l'esistenza di soluzioni di $- div a (x, grad u) = f$ sotto ipotesi di crescita e coercitività.

Publié le : 2004-02-01

MR 2044260 | Zbl 1115.35047

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Francfort, Gilles; Murat, François; Tartar, Luc. Monotone operators in divergence form with $x$-dependent multivalued graphs. Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 7-A (2004) pp. 23-59. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BUMI_2004_8_7B_1_23_0/

Bibliographie

[Al&Am] Alberti, G.-Ambrosio, L., A geometrical approach to monotone functions in $R^{n}$ , Math. Z., 230 (2) (1999), 259-316. | Zbl 0934.49025

[Ba] Barbu, V., Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, Noordhoff International Publishing, Leiden, 1976. 352 pp. | MR 390843 | Zbl 0328.47035

[Bre1] Brezis, H., Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert, North-Holland Mathematics Studies, No. 5. Notas de Matemática (50). North-Holland Publishing Co., Amsterdam-London; American Elsevier Publishing Co. Inc., New York, 1973. vi+183 pp. | Zbl 0252.47055

[Bre2] Brezis, H., Analyse fonctionnelle. Théorie et applications, Collection Mathématiques Appliquées pour la Maîtrise. Masson, Paris, 1983. xiv+234 pp. | MR 697382 | Zbl 0511.46001

[Bro] Browder, F. E., Nonlinear operators and nonlinear equations of evolution in Banach spaces, Nonlinear functional analysis, Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVIII, Part 2, Chicago, Ill., 1968, pp. 1-308. Amer. Math. Soc., Providence, R. I., 1976. | MR 405188 | Zbl 0327.47022

[CP&DM&De] Chiadò Piat, V.-Dal Maso, G.-Defranceschi, A., G-convergence of monotone operators, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, 7 (3) (1990), 123-160. | Zbl 0731.35033

[Fe] Federer, H., Geometric measure theory, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153, Springer-Verlag New York Inc., New York 1969. xiv+676 pp. | MR 257325 | Zbl 0176.00801

[Le&Li] Leray, J., Lions, J.-L., Quelques resultats de Višik sur les problemes elliptiques nonlineaires par les methodes de Minty-Browder, Bull. Soc. Math. France, 93 (1965), 97-107. | Zbl 0132.10502

[Li] Lions, J-.L., Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires, Dunod; Gauthier-Villars, Paris1969. xx+554 pp. | Zbl 0189.40603

[Mi] Minty, G. J., Monotone (nonlinear) operators in Hilbert space, Duke Math. J., 29 (1962), 341-346. | MR 169064 | Zbl 0111.31202