Links between $\Delta(x,N) = {\displaystyle \sum_{{n \leq xN, \,\, (n,N)=1}}} 1-x\phi(N)$ and character sums

Codecá, P.; Nair, M.

Links between

Δ (x, N) = \sum_{n \leq x N, (n, N) = 1} 1 - x ϕ (N)

and character sums

Codecá, P. ; Nair, M.

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 6-A (2003), p. 509-516 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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Abstract
Résumé

We express $Δ (x, N)$ , as defined in the title, for $x = \frac{a}{q}$ and $q$ prime in terms of values of characters modulo $q$ . Using this, we show that the universal lower bound for $Δ (N) = {sup}_{x \in R} |Δ (x, N)|$ can, in general, be substantially improved when $N$ is composed of primes lying in a fixed residue class modulo $q$ . We also prove a corresponding improvement when $N$ is the product of the first s primes for infinitely many natural numbers $s$ .

Esprimiamo la funzione $Δ (x, N)$ definita nel titolo, per $x = \frac{a}{q}$ con $q$ primo, mediante i caratteri modulo $q$ . Utilizzando questo risultato dimostriamo che il confine inferiore universale per $Δ (N) = {sup}_{x \in R} |Δ (x, N)|$ può, in generale, essere sostanzialmente migliorato quando $N$ è composto di primi che appartengono ad una fissata classe di resti modulo $q$ . Otteniamo inoltre un analogo miglioramento nel caso in cui $N$ sia il prodotto dei primi $s$ primi, per infiniti valori di $s$ .

Publié le : 2003-06-01

MR 1988219 | Zbl 1177.11079

@article{BUMI_2003_8_6B_2_509_0,
     author = {P. Codec\'a and M. Nair},
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     journal = {Bollettino dell'Unione Matematica Italiana},
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Codecá, P.; Nair, M. Links between $\Delta(x,N) = {\displaystyle \sum_{{n \leq xN, \,\, (n,N)=1}}} 1-x\phi(N)$ and character sums. Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 6-A (2003) pp. 509-516. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BUMI_2003_8_6B_2_509_0/

Bibliographie

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