Quasi-homeomorphisms, Goldspectral spaces and Jacspectral spaces

Echi, Othman

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 6-A (2003), p. 489-507 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Abstract

In this paper, we deal with the study of quasi-homeomorphisms, the Goldman prime spectrum and the Jacobson prime spectrum of a commutative ring. We prove that, if $g \colon Y \to X$ is a quasi-homeomorphism, $Z$ a sober space and $f \colon Y \to Z$ a continuous map, then there exists a unique continuous map $F \colon X \to Z$ such that $F \circ g =f$. Let $X$ be a $T_{0}$-space, $q \colon X \to^{s} X$ the injection of $X$ onto its sobrification $^{s}X$. It is shown, here, that $q(\text{Gold}(X))=\text{Gold}(\sideset{^{s}}{}{\operatorname{X}})$, where $\text{Gold}(X)$ is the set of all locally closed points of $X$. Some applications are also indicated. The Jacobson prime spectrum of a commutative ring $R$ is the set of all prime ideals of $R$ which are intersections of some maximal ideals of $R$. One of our main results is a surprising answer to the problem of ordered disjoint union of jacspectral sets (ordered sets which are isomorphic to the Jacobson prime spectrum of some ring): Let $\{(X_{\lambda}, \leq_{\lambda}) \, : \, \lambda\in\Lambda \}$ be a collection of ordered disjoint sets and $X=\bigcup_{\lambda\in\Lambda} X_{\lambda}$. Partially order $X$ by declaring $x\leq y$ to mean that there exists $\lambda\in\Lambda$ such that $x$, $y\in X_{\lambda}$ and $x\leq_{\lambda} y$. Then the following statements are equivalent: (i) $(X, \leq)$ is jacspectral. (ii) $(X_{\lambda}, \leq_{\lambda})$ is jacspectral, for each $\lambda\in\Lambda$.

Résumé

In questo lavoro vengono studiati i quasi-omeomorfismi tra spazi spettrali, lo spettro primo di Goldman e lo spettro primo di Jacobson di un anello commutativo. Proviamo che, se $g \colon Y \to X$ è un quasi-omeomorfismo, $Z$ uno spazio sobrio ed $f\colon Y \to Z$ una mappa continua, allora esiste un'unica mappa continua $F\colon X \to Z$ tale che $F \circ g =f$. Sia $X$ uno $T_{0}$-spazio, $q\colon X\to^{s} X$ l'iniezione di $X$ nella sua sobrificazione $^{s} X$, allora mostriamo che $q(\text{Gold}(X))=\text{Gold}(\sideset{^{s}}{}{\operatorname{X}})$, dove $\text{Gold}(X)$ è l'insieme di tutti punti localmente chiusi di $X$. Di tali risultati vengono date alcune applicazioni. Lo spettro primo di Jacobson di un anello commutativo $R$ è l'insieme di tutti gli ideali primi di R che si ottengono come intersezione di ideali massimali di $R$. Uno dei risultati principali di questo lavoro fornisce una risposta, per vari aspetti sorprendente, al problema delle unioni disgiunte di insiemi jacspettrali (insiemi ordinati che sono isomorfi come insiemi ordinati allo spettro primo di Jacobson di un qualche anello commutativo). Sia $\{(X_{\lambda}, \leq_{\lambda}) \, : \, \lambda\in\Lambda \}$ ( una famiglia di insiemi ordinati disgiunti e sia $X=\bigcup_{\lambda\in\Lambda} X_{\lambda}$. Introduciamo su $X$ una relazione d'ordine dichiarando $x\leq y$ se esiste $\lambda\in\Lambda$ tale che $x, y\in X_{\lambda}$ e $x\leq_{\lambda} y$. Allora, le affermazioni seguenti sono tra loro equivalenti: (i) $(X,\leq)$ è jacspettrale. (ii) $(X_{\lambda}, \leq_{\lambda})$ è jacspettrale, per ogni $\lambda\in\Lambda$.

Détail

Publié le : 2003-06-01

MR 1988218 | Zbl 1177.13060

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