Composition operators on Banach spaces of formal power series

Yousefi, B.; Jahedi, S.

Yousefi, B. ; Jahedi, S.

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 6-A (2003), p. 481-487 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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Abstract
Résumé

Let ${\{β (n)\}}_{n = 0}^{\infty}$ be a sequence of positive numbers and $1 \leq p < \infty$ . We consider the space $H^{p} (β)$ of all power series $f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \overset{⌃}{f} (n) z^{n}$ such that $\sum_{n = 0}^{\infty} {|\overset{⌃}{f} (n)|}^{p} β {(n)}^{p} < \infty$ . Suppose that $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ and $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{q j}}{β {(n)}^{q}} = \infty$ for some nonnegative integer $j$ . We show that if $C_{φ}$ is compact on $H^{p} (β)$ , then the non-tangential limit of $φ^{(j + 1)}$ has modulus greater than one at each boundary point of the open unit disc. Also we show that if $C_{φ}$ is Fredholm on $H_{p} (β)$ , then $φ$ must be an automorphism of the open unit disc.

Supponiamo che ${\{β (n)\}}_{n = 0}^{\infty}$ sia una successione di numeri positivi e $1 \leq p < \infty$ . Consideriamo lo spazio $H^{p} (β)$ di tutte le serie di potenze $f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \overset{⌃}{f} (n) z^{n}$ tali che $\sum_{n = 0}^{\infty} {|\overset{⌃}{f} (n)|}^{p} β {(n)}^{p} < \infty$ . Supponiamo che $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ e $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{q j}}{β {(n)}^{q}} = \infty$ per un intero non-negativo $j$ . Dimostriamo che se $C_{φ}$ è compatto su $H^{p} (β)$ , allora il limite non-tangenziale di $φ^{(j + 1)}$ ha modulo maggiore di uno, in ogni punto della frontiera del disco unitario aperto. Dimostriamo anche che se $C_{φ}$ è di Fredholm su $H_{p} (β)$ , allora $φ$ deve essere un automorfismo del disco unitario aperto.

Publié le : 2003-06-01

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Yousefi, B.; Jahedi, S. Composition operators on Banach spaces of formal power series. Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 6-A (2003) pp. 481-487. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BUMI_2003_8_6B_2_481_0/

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