On the notion of potential for mappings between linear spaces. A generalized version of the Poincaré lemma

Valent, Tullio

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 6-A (2003), p. 381-392 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Abstract

An approach to the theory of linear differential forms in a radial subset of an (arbitrary) real linear space $X$ without a Banach structure is proposed. Only intrinsic (partially linear) topologies on $X$ are (implicitly) involved in the definitions and statements. Then a mapping $F \colon U\subseteq X \to Y$, with $X$, $Y$ real linear spaces and $U$ a radial subset of $X$, is considered. After showing a representation theorem of those bilinear forms $\langle \cdot,\cdot \rangle$ on $X\times Y$ for which $\langle x, y\rangle =0$$\forall x\in X$$ \Rightarrow y=0$, we observe that the assignment of such a bilinear form allows to associate (in a natural way) a linear differential form to the mapping $F$; this fact spontaneously leads us to a definition of potentialness for $F$. This definition has a special interest in the case when the mapping $F$ describes a boundary and, or, initial value problem; a simple example, originated from finite elasticity, is explained in sect. 6.

Résumé

Si indica un approccio alla teoria delle forme differenziali lineari in uno spazio vettoriale $X$ senza richiedere una struttura di spazio di Banach su $X$. Nelle definizioni e negli enunciati intervengono (implicitamente) solo delle topologie intrinseche (parzialmente vettoriali) di $X$. Successivamente si considera una funzion $F \colon U \subseteq X \to Y$, con $X$, $Y$ spazi vettoriali reali ed $U$ sottoinsieme radiale di $X$. Dopo aver mostrato un teorema di rappresentazione delle forme bilineari $\langle \cdot,\cdot \rangle$ su $X\times Y$ tali che $\langle x, y\rangle =0$$\forall x\in X$$\Rightarrow y=0$, si osserva come l'assegnazione di una tale forma bilineare permetta di associare, in una maniera naturale, alla funzione $F$ una forma differenziale, e ciò conduce spontaneamente alla definizione di potenzialità di $F$. Questa definizione ha interesse soprattutto quando $F$ descrive un problema al contorno e, o, ai valori iniziali; nella sezione 6 si espone un esempio tratto dalla teoria dell'elasticità finita.

Détail

Publié le : 2003-06-01

MR 1988211 | Zbl 1150.58001

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