Calculating a determinant associated with multiplicative functions

Codecá, P. ; Nair, M.

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 5-A (2002), p. 545-555 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Abstract

Let $h$ be a complex valued multiplicative function. For any $N\in \mathbb{N}$, we compute the value of the determinant $D_{N}:= \det _{i|N, j|N}\left(\frac{h((i,j))}{ij} \right)$ where $(i, j)$ denotes the greatest common divisor of $i$ and $j$, which appear in increasing order in rows and columns. Precisely we prove that $$D_{N}= \prod _{p^{l}\| N}\left(\frac{1}{p^{l(l+1)}}\prod_{i=1}^{l}(h(p^{i})-h(p^{i-1})) \right)^{\tau (N/p^{l})}.$$ This means that $D_{N}^{1/\tau(N)}$ is a multiplicative function of $N$. The algebraic apparatus associated with this result allows us to prove the following two results. The first one is the characterization of real multiplicative functions $f(n)$, with $0\leq f (p)<1$, as minimal values of certain quadratic forms on the $\tau(N)$ unit sphere. The second one is the explicit evaluation of the minimal values of certain others quadratic forms also on the unit sphere.

Résumé

Sia $h$ una funzione moltiplicativa a valori complessi. Per ogni $N\in \mathbb{N}$, calcoliamo il determinante $D_{N}:= \det_{i|N, j|N}\left(\frac{h((i,j))}{ij} \right)$, dove $(i ,j)$ indica il massimo comun divisore di $i$ e $j$, che figurano in ordine crescente in righe e colonne. Precisamente dimostriamo che $$D_{N}= \prod _{p^{l}\| N}\left(\frac{1}{p^{l(l+1)}}\prod_{i=1}^{l}(h(p^{i})-h(p^{i-1})) \right)^{\tau (N/p^{l})}.$$ Dunque $D_{N}^{1/\tau(N)}$ è effettivamente una funzione moltiplicativa di $N$ . L'apparato algebrico associato a questo risultato ci consente di dimostrarne altri due. Il primo è la caratterizzazione delle funzioni reali moltiplicative $f(n)$, con $0\leq f (p)<1$, come valori minimi di certe forme quadratiche sulla sfera unità $\tau(N)$ dimensionale. Il secondo è la determinazione esplicita dei valori minimi di certe altre forme quadratiche su detta sfera.

Détail

Publié le : 2002-06-01

MR 1911205 | Zbl 1173.11301

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