We introduce Kleene's 3-valued logic in a language containing, besides the Boolean connectives, a constant for the undefined truth value, so in developing semantics we can switch from the usual treatment based on DM-algebras to the narrower class of DMF-algebras (De Morgan algebras with a single fixed point for negation). A sequent calculus for Kleene's logic is introduced and proved complete with respect to threevalent semantics. The completeness proof is based on a version of the prime ideal theorem that is typical of DMF-algebras. Only for the weak completeness theorem the proof is fully algebrical, because in the proof of strong completeness we have been compelled to use topological methods (Tychonoff theorem on the product of compact spaces).
La logica trivalente di Kleene è presentata in un linguaggio che comprende, oltre alle costanti booleane, anche un simbolo per il valore di verità intermedio . Parallelamente si sviluppa la semantica utilizzando la classe delle DMF-algebre al posto della classe più estesa costituita dalle algebra di De Morgan. Si introduce quindi un calcolo di sequenti che viene dimostrato completo rispetto alla semantica trivalente. La dimostrazione di completezza è fondata su una versione del teorema dell'ideale primo tipica delle DMF-algebre. La dimostrazione è interamente algebrica solo per quanto riguarda il teorema di completezza debole. La dimostrazione della versione forte del teorema di completezza utilizza metodi topologici, in particolare il teorema di Tychonoff sul prodotto di spazi compatti.
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author = {Maurizio Negri},
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Negri, Maurizio. An algebraic completeness proof for Kleene's 3-valued logic. Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 5-A (2002) pp. 447-467. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BUMI_2002_8_5B_2_447_0/
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