Convergence and uniqueness problems for Dirichlet forms on fractals

Peirone, Roberto

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 3-A (2000), p. 431-460 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

Access to full text
Full (PDF)
Full (DjVu)

Résumé

$M_{1}$ è un particolare operatore di minimizzazione per forme di Dirichlet definite su un sottoinsieme finito di un frattale $K$ che è, in un certo senso, una sorta di frontiera di $K$ . Viene talvolta chiamato mappa di rinormalizzazione ed è stato usato per definire su $K$ un analogo del funzionale $u \mapsto \int {|grad u|}^{2}$ e un moto Browniano. In questo lavoro si provano alcuni risultati sull'unicità dell'autoforma (rispetto a $M_{1}$ ), e sulla convergenza dell'iterata di $M_{1}$ rinormalizzata. Questi risultati sono collegati con l'unicità del moto Browniano e con l'omogeneizzazione sui frattali.

Publié le : 2000-06-01

MR 1769995 | Zbl 0958.31005

@article{BUMI_2000_8_3B_2_431_0,
     author = {Roberto Peirone},
     title = {Convergence and uniqueness problems for Dirichlet forms on fractals},
     journal = {Bollettino dell'Unione Matematica Italiana},
     volume = {3-A},
     year = {2000},
     pages = {431-460},
     zbl = {0958.31005},
     mrnumber = {1769995},
     language = {en},
     url = {http://dml.mathdoc.fr/item/BUMI_2000_8_3B_2_431_0}
}

Peirone, Roberto. Convergence and uniqueness problems for Dirichlet forms on fractals. Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 3-A (2000) pp. 431-460. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BUMI_2000_8_3B_2_431_0/

Bibliographie

[1] Barlow, M. T., Random Walks, Electrical Resistance, and Nested Fractals, in Asymptotic Problems in Probability Theory: Stochastic Models and Diffusion on Fractals, pp. 131-157. Pitman Research Notes in Math. Series, n. 283, 1993. | MR 1354153 | Zbl 0791.60097

[2] Fitzsimmons, P. J.-Hambly, B. M.-Kumagai, T., Transition Density Estimates for Brownian Motion on Affine Nested Fractals, Comm. Math. Phys., 165 (1994), 595-620. | MR 1301625 | Zbl 0853.60062

[3] Fukushima, M.-Oshima, Y.-Takeda, M., Dirichlet Forms and Symmetric Markov Processes, de Gruyter Stud. Math.19, Walter de Gruyter, Berlin-New York1994. | MR 1303354 | Zbl 0838.31001

[4] Hattori, K.-Hattori, T.-Watanabe, H., Gaussian Field Theories on General Networks and the Spectral Dimension, Progr. Theor. Phys. Suppl., 92 (1987), 108-143. | MR 934668

[5] Hutchinson, J. E., Fractals and Self Similarity, Ind. Univ. Math. Journ., 30 (1981), 713-747. | MR 625600 | Zbl 0598.28011

[6] Kigami, J., Harmonic Calculus on p.c.f. Self-similar Sets, Trans. Amer. Math. Soc., 335 (1993), 721-755. | MR 1076617 | Zbl 0773.31009

[7] Kigami, J., Harmonic Metric and Dirichlet Form on the Sierpinski Gasket, in Asymptotic Problems in Probability Theory: Stochastic Models and Diffusion on Fractals, pp. 201-218, Pitman Research Notes in Math. Series, n. 283, 1993. | MR 1354156 | Zbl 0793.31005

[8] Kozlov, S. M., Harmonization and Homogenization on Fractals, Comm. Math. Phys., 153 (1993), 339-357. | MR 1218305 | Zbl 0767.58033

[9] Kumagai, T.-Kusuoka, S., Homogenization on Nested Fractals, Probab. Theory Related Fields, 104 (1996), 375-398. | MR 1376343 | Zbl 0843.31004

[10] Lindstrøm, T., Brownian Motion on Nested Fractals, Mem. Amer. Math. Soc. No. 420 (1990). | MR 988082 | Zbl 0688.60065

[11] Metz, V., How many Diffusions Exist on the Vicsek Snowflake?, Acta Appl. Math., 32 (1993), 227-241. | MR 1255630 | Zbl 0795.31011

[12] Metz, V., Renormalization of Finitely Ramified Fractals, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 125A (1995), 1085-1104. | MR 1361635 | Zbl 0874.28010

[13] Metz, V., Hilbert's Projective Metric on Cones of Dirichlet Forms, Journal of Functional Analysis, 127 (1995), 438-455. | MR 1317725 | Zbl 0831.47047

[14] Metz, V., Renormalization Contracts on Nested Fractals, J. Reine Angew. Math., 480 (1996), 161-175. | MR 1420562 | Zbl 0858.31008

[15] Mortola, S.-Peirone, R., Homogenization of Quadratic Forms on Fractals, Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano, LXIV (1994), 117-128. | MR 1397467 | Zbl 0853.58078

[16] Nussbaum, R. D., Hilbert's Projective Metric and Iterated Nonlinear Maps, Mem. Amer. Math. Soc. No 391 (1988). | MR 961211 | Zbl 0666.47028

[17] Sabot, C., Diffusions sur les Espaces Fractals, Thèse de Doctorat, Université Paris 6, Paris (1995).

[18] Seneta, E., Non-negative Matrices and Markov Chains, Springer-Verlag, New York, 1981. | MR 2209438 | Zbl 0471.60001