The $C^{*}$-algebra of a Hilbert bimodule

Doplicher, Sergio; Pinzari, Claudia; Zuccante, Rita

The

C^{*}

-algebra of a Hilbert bimodule

Doplicher, Sergio ; Pinzari, Claudia ; Zuccante, Rita

Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 1-A (1998), p. 263-282 / Harvested from Biblioteca Digitale Italiana di Matematica

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Résumé

Un $C^{*}$ -modulo hilbertiano destro $X$ su una $C^{*}$ -algebra $A$ dotato di uno $^{*}$ -omomorfismo isometrico $ϕ : A \to L_{A} (X)$ viene qui considerato come un oggetto $X_{A}$ della $C^{*}$ -categoria degli $A$ -moduli Hilbertiani destri. Come in [11], associamo ad esso una $C^{*}$ -algebra $O_{X_{A}}$ contenente $X$ come un « $A$ -bimodulo hilbertiano in $O_{X_{A}}$ ». Se $X$ è pieno e proiettivo finito $O_{X_{A}}$ è la $C^{*}$ -algebra $C^{*} (X)$ , la generalizzazione delle algebre di Cuntz-Krieger introdotta da Pimsner [27] (e in un caso particolare da Katayama [31]). Più in generale, $C^{*} (X)$ è canonicamente immersa in $O_{X_{A}}$ come la $C^{*}$ -sottoalgebra generata da $X$ . Reciprocamente, se $X$ è pieno $O_{X_{A}}$ è canonicamente immersa in $C^{*} {(X)}^{* A *}$ . Inoltre, considerando $X$ come un oggetto ${}_{A}X_{A}$ della $C^{*}$ -categoria degli $A$ -bimoduli hilbertiani, associamo ad esso una $C^{*}$ -sottoalgebra $O_{{}_{A}X_{A}}$ di $O_{X_{A}}$ che commuta con $A$ , su cui $X$ induce un endomorfismo canonico $ϱ$ . Discutiamo condizioni sotto le quali $A$ ed $O_{{}_{A}X_{A}}$ sono l'uno il commutante relativo dell'altro ed $X$ è precisamente il sottospazio degli operatori di allacciamento in $O_{X_{A}}$ tra l'identità e $ϱ$ su $O_{{}_{A}X_{A}}$ . Discutiamo anche condizioni che implicano la semplicità di $C^{*} (X)$ o di $O_{X_{A}}$ ; in particolare, se $X$ è proiettivo finito e pieno, $C^{*} (X)$ è semplice se $A$ è $X$ -semplice e lo «spettro di Connes» di $X$ è $T$ .

Publié le : 1998-06-01

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Doplicher, Sergio; Pinzari, Claudia; Zuccante, Rita. The $C^{*}$-algebra of a Hilbert bimodule. Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Tome 1-A (1998) pp. 263-282. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BUMI_1998_8_1B_2_263_0/

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