Explicit Teichmüller curves with complementary series

[Courbes de Teichmüller explicites avec série complémentaires]

Matheus, Carlos ; Weitze-Schmithüsen, Gabriela

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 141 (2013), p. 557-602 / Harvested from Numdam

Résumé

On construit une famille explicite de courbes de Teichmüller arithmétiques $\mathcal {C}_{2k}$, $k\in \mathbb {N}$, supportant des probabilités $\textrm {SL}(2,\mathbb {R})$-invariantes $\mu _{2k}$ telles que la $\textrm {SL}(2,\mathbb {R})$-representation associée sur $L^2(\mathcal {C}_{2k}, \mu _{2k})$ a des séries complémentaires pour tout $k\ge 3$. En fait, la taille du trou spectral de cette famille tend vers zéro. En particulier, le flot géodésique de Teichmüller restreint à ces courbes de Teichmüller explicites $\mathcal {C}_{2k}$ a une vitesse de mélange exponentiel arbitrarement lente.

Abstract

We construct an explicit family of arithmetic Teichmüller curves $\mathcal {C}_{2k}$, $k\in \mathbb {N}$, supporting $\textrm {SL}(2,\mathbb {R})$-invariant probabilities $\mu _{2k}$ such that the associated $\textrm {SL}(2,\mathbb {R})$-representation on $L^2(\mathcal {C}_{2k}, \mu _{2k})$ has complementary series for every $k\ge 3$. Actually, the size of the spectral gap along this family goes to zero. In particular, the Teichmüller geodesic flow restricted to these explicit arithmetic Teichmüller curves $\mathcal {C}_{2k}$ has arbitrarily slow rate of exponential mixing.

Détail

Publié le : 2013-01-01
DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2656
Classification:  37D40
Mots clés: espaces de modules, différentielles abéliennes, surfaces de translation, surfaces à petits carreaux, courbes de teichmüller, trou spectral, vitesse de mélange, série complémentaire

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