Similitude des multiples des formes d'Albert en caractéristique 2

Hoffmann, Detlev W. ; Laghribi, Ahmed

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 141 (2013), p. 343-354 / Harvested from Numdam

Résumé

Étant donnés $F$ un corps commutatif de caractéristique $2$, $\gamma _1, \gamma _2$ des formes bilinéaires d’Albert et $\pi _1, \pi _2$ des $k$-formes quadratiques de Pfister, ou $\gamma _1, \gamma _2$ des $k$-formes bilinéaires de Pfister et $\pi _1, \pi _2$ des formes quadratiques d’Albert (resp. $\gamma _1, \gamma _2$ des formes bilinéaires d’Albert et $\pi _1, \pi _2$ des $k$-formes bilinéaires de Pfister avec la condition que $\gamma _i\otimes \pi _i$, $i=1,2$, soient anisotropes), alors on montre que $\gamma _1\otimes \pi _1 \perp \gamma _2\otimes \pi _2\in I_q^{k+3}F$ (resp. $I^{k+3}F$) si et seulement si $\gamma _1\otimes \pi _1$ est semblable à $\gamma _2\otimes \pi _2$. Un exemple montre que la condition de l’anisotropie est nécessaire dans le cas bilinéaire.

Abstract

Let $F$ be a field of characteristic $2$. Let $\gamma _1, \gamma _2$ be Albert bilinear forms and $\pi _1, \pi _2$ quadratic $k$-Pfister forms, or $\gamma _1, \gamma _2$ bilinear $k$-Pfister forms and $\pi _1, \pi _2$ Albert quadratic forms (resp. $\gamma _1, \gamma _2$ Albert bilinear forms and $\pi _1, \pi _2$ bilinear $k$-Pfister forms with the condition that $\gamma _i\otimes \pi _i$, $i=1,2$, are anisotropic). Then we show that $\gamma _1\otimes \pi _1 \perp \gamma _2\otimes \pi _2\in I_q^{k+3}F$ (resp. $I^{k+3}F$) if and only if $\gamma _1\otimes \pi _1$ is similar to $\gamma _2\otimes \pi _2$. We give an example which shows that the anisotropy condition is necessary in the bilinear case.

Détail

Publié le : 2013-01-01
DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2650
Classification:  11E04,  11E81
Mots clés: formes quadratiques (bilinéaires), formes d'Albert, formes de Pfister, similarité

Bibliographie

[1] R. Baeza - Quadratic forms over semilocal rings, Lecture Notes in Math., vol. 655, Springer, 1978. | MR 491773

[2] P. Draxl - « Über gemeinsame separabel-quadratische Zerfällungskörper von Quaternionenalgebren », Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II 16 (1975), p. 251-259. | MR 480436

[3] R. Elman, N. Karpenko & A. Merkurjev - The algebraic and geometric theory of quadratic forms, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 56, Amer. Math. Soc., 2008. | MR 2427530

[4] F. Faivre - « Liaison des formes de Pfister et corps de fonctions de quadriques en caractéristique $2$ », thèse de doctorat, Université de Franche-Comté, 2006.

[5] S. Garibaldi - « Orthogonal involutions on algebras of degree 16 and the Killing form of $E_8$ », in Quadratic forms-algebra, arithmetic, and geometry, Contemp. Math., vol. 493, Amer. Math. Soc., 2009, p. 131-162. | MR 2537098

[6] D. W. Hoffmann - « On a conjecture of Izhboldin on similarity of quadratic forms », Doc. Math. 4 (1999), p. 61-64. | MR 1677655

[7] D. W. Hoffmann & A. Laghribi - « Quadratic forms and Pfister neighbors in characteristic 2 », Trans. Amer. Math. Soc. 356 (2004), p. 4019-4053. | MR 2058517

[8] N. Jacobson - « Some applications of Jordan norms to involutorial simple associative algebras », Adv. in Math. 48 (1983), p. 149-165. | MR 700981

[9] K. Kato - « Symmetric bilinear forms, quadratic forms and Milnor $K$-theory in characteristic two », Invent. Math. 66 (1982), p. 493-510. | MR 662605

[10] A. Laghribi - « Witt kernels of function field extensions in characteristic 2 », J. Pure Appl. Algebra 199 (2005), p. 167-182. | MR 2134299

[11] -, « Sur le déploiement des formes bilinéaires en caractéristique 2 », Pacific J. Math. 232 (2007), p. 207-232.

[12] -, « Jacobson's theorem for bilinear forms in characteristic 2 », Proc. Amer. Math. Soc. 137 (2009), p. 2905-2912. | MR 2506448

[13] -, « Les formes bilinéaires et quadratiques bonnes de hauteur 2 en caractéristique 2 », Math. Z. 269 (2011), p. 671-685. | MR 2860258

[14] A. Laghribi & P. Mammone - « Hyper-isotropy of bilinear forms in characteristic 2 », in Quadratic forms-algebra, arithmetic, and geometry, Contemp. Math., vol. 493, Amer. Math. Soc., 2009, p. 249-269. | MR 2537105

[15] T. Y. Lam - « On the linkage of quaternion algebras », Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 9 (2002), p. 415-418. | MR 2016580

[16] P. Mammone & D. B. Shapiro - « The Albert quadratic form for an algebra of degree four », Proc. Amer. Math. Soc. 105 (1989), p. 525-530. | MR 931742

[17] A. S. MerkurʼEv - « On the norm residue symbol of degree $2$ », Dokl. Akad. Nauk SSSR 261 (1981), p. 542-547. | MR 638926

[18] C. H. Sah - « Symmetric bilinear forms and quadratic forms », J. Algebra 20 (1972), p. 144-160. | MR 294378