Extension of Estermann's theorem to Euler products associated to a multivariate polynomial

[Extension du théorème d'Estermann aux produits eulériens associés à un polynôme de plusieurs variables]

Delabarre, Ludovic

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 141 (2013), p. 225-265 / Harvested from Numdam

Résumé

Etant donné un polynôme de plusieurs variables $h\left(X_1,\dots ,X_n\right)$ à coefficients entiers vérifiant une hypothèse de régularité analytique (et vérifiant $h(\textbf {0})=1$), on détermine le domaine maximal de méromorphie du produit eulérien $\prod _{p \ \textrm {premier}}h\left(p^{-s_1},\dots ,p^{-s_n}\right)$ et la frontière naturelle de méromorphie est décrite précisément lorsqu’elle existe. De cette façon on généralise un résultat célèbre de 1928 concernant les polynômes d’une variable due à Estermann. En guise d’application, on détermine la frontière naturelle de produits eulériens de plusieurs variables associés à une famille de variétés toriques.

Abstract

Given a multivariate polynomial $h\left(X_1,\dots ,X_n\right)$ with integral coefficients verifying an hypothesis of analytic regularity (and satisfying $h(\textbf {0})=1$), we determine the maximal domain of meromorphy of the Euler product $\prod _{p \ \textrm {prime}}h\left(p^{-s_1},\dots ,p^{-s_n}\right)$ and the natural boundary is precisely described when it exists. In this way we extend a well known result for one variable polynomials due to Estermann from 1928. As an application, we calculate the natural boundary of the multivariate Euler products associated to a family of toric varieties.

Détail

Publié le : 2013-01-01
DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2647
Classification:  11M32,  11M41,  32D15,  11N99,  14G05
Mots clés: produits eulériens de plusieurs variables, prolongement méromorphe, frontière naturelle, polynôme cyclotomique, point rationnel sur une variété torique

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