Minoration du spectre des variétés hyperboliques de dimension 3

Jammes, Pierre

Minoration du spectre des variétés hyperboliques de dimension 3

Jammes, Pierre

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 140 (2012), p. 237-255 / Harvested from Numdam

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Résumé
Abstract

Soit $M$ une variété hyperbolique compacte de dimension 3, de diamètre $d$ et de volume $\leq V$ . Si on note $μ_{i} (M)$ la $i$ -ième valeur propre du laplacien de Hodge-de Rham agissant sur les 1-formes coexactes de $M$ , on montre que $μ_{1} (M) \geq \frac{c}{d^{3} e^{2 k d}}$ et $μ_{k + 1} (M) \geq \frac{c}{d^{2}}$ , où $c > 0$ est une constante ne dépendant que de $V$ , et $k$ est le nombre de composantes connexes de la partie mince de $M$ . En outre, on montre que pour toute 3-variété hyperbolique $M_{\infty}$ de volume fini avec cusps, il existe une suite $M_{i}$ de remplissages compacts de $M_{\infty}$ , de diamètre $d_{i} \to + \infty$ telle que et $μ_{1} (M_{i}) \geq \frac{c}{d_{i}^{2}}$ .

Let $M$ be a compact hyperbolic 3-manifold of diameter $d$ and volume $\leq V$ . If $μ_{i} (M)$ denotes the $i$ -th eigenvalue of the Hodge laplacian acting on coexact 1-forms of $M$ , we prove that $μ_{1} (M) \geq \frac{c}{d^{3} e^{2 k d}}$ and $μ_{k + 1} (M) \geq \frac{c}{d^{2}}$ , where $c > 0$ depends only on $V$ , and $k$ is the number of connected component of the thin part of $M$ . Moreover, we prove that for any finite volume hyperbolic 3-manifold $M_{\infty}$ with cusps, there is a sequence $M_{i}$ of compact fillings of $M_{\infty}$ of diameter $d_{i} \to + \infty$ such that $μ_{1} (M_{i}) \geq \frac{c}{d_{i}^{2}}$ .

Publié le : 2012-01-01

MR 2950180 | Zbl 1260.35089

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2627
Classification: 35P15, 58J50, 53C21, 57M50
Mots clés: laplacien de Hodge-De Rham, formes différentielles, variétés hyperboliques

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Jammes, Pierre. Minoration du spectre des variétés hyperboliques de dimension 3. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 140 (2012) pp. 237-255. doi : 10.24033/bsmf.2627. http://gdmltest.u-ga.fr/item/BSMF_2012__140_2_237_0/

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